Лекция 5. Продолжение.

III. Емкость проводников и конденсаторов. Энергия электрического поля.

Рассмотрим уединенный проводник, находящийся достаточно далеко от других тел. Если этому проводнику сообщить заряды q₁, q₂, … то после их перераспределения по объему проводника он приобретает потенциалы φ₁, φ₂ … Отношение q₁/φ₁, q₂/φ₂, … для данного уединенного проводника оказывается постоянным, зависящим только от его формы и размеров, и называется его электроемкостью, или емкостью. Таким образом, по мере увеличения заряда проводника возрастает и его потенциал:

. (1)

Коэффициент С зависит только от размеров и формы проводника, а также от диэлектрической проницаемости окружающего проводник диэлектрика.

[С]=[Ф] – фарада

Понятие электроемкости применимо только к проводникам, так как для них существует равновесное распределение зарядов по объему тела, при котором все точки проводника имеют один и тот же потенциал. Если же заряд сообщается изолятору, то он не растекается по нему и поэтому в различных местах изолятора потенциал различен.

При наличии вблизи данного проводника других тел – проводников или диэлектриков – выражение (1) зависит также от формы, размеров и относительного расположения соседних тел. Если эти соседние тела – проводники, то в них происходит перераспределение свободных зарядов, электрическое поле которых накладывается на поле данного тела и изменяет его потенциал. Если же соседние тела – диэлектрики, то они поляризуются, вследствие чего на поле данного тела накладывается поле связанных зарядов диэлектрика; это опять-таки изменяет потенциал рассматриваемого проводника.

Таким образом, при наличии соседних тел данный проводник приобретает иной потенциал, чем при их отсутствии.

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые накапливали бы на себе заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные или связанные заряды. Это приводит к уменьшению потенциала проводника по абсолютной величине, а это, согласно (1) означает увеличение емкости проводника.

Всякий конденсатор состоит из двух металлических обкладок, отделенных одна от другой слоем диэлектрика. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Если q – заряд одной из обкладок, а φ=(φ₁-φ₂) – разность потенциалов между обкладками, то

q=C(φ₁-φ₂).

Постоянная С зависит только от размеров и устройства конденсатора. Она называется емкостью конденсатора.

Конденсаторы часто соединяют в батареи.

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электростатическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен φ=q/С. Увеличим заряд на dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа

dA_э.п.=dq(φ₁-φ₂)= -φdq= - dA_вн.с.

.

Полученное выражение говорит о том, что для зарядки тела необходимо совершить положительную работу А_вн.с.. При разрядке электрическое поле заряженного тела само совершает работу, равную А. Таким образом, формула

(2)

выражает энергию заряженного проводника. Аналогичная формула получается и для заряженного φ означает разность потенциалов между клеммами конденсатора.

Пусть точечные заряды q₁ и q₂ находятся в вакууме на бесконечном расстоянии друг от друга. Чтобы их сблизить до расстояния r₁₂, надо совершить работу q₁q₂/4πε₀r₁₂. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов будет

.

Для нескольких точечных зарядов

. (3)

Коэффициент ½ поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды: в виде слагаемого q_iq_k/r_ik и виде равного ему слагаемого q_kq_i/r_ki. Формулу (3) можно представить в виде

,

где φ_i – потенциал поля, создаваемого (n-1) зарядами (за исключением q_i) в точке, в которой находится заряд q_i.

Электрическое поле обладает энергией, которая распределена по всему объему пространства, где есть это поле. Соответственно энергия заряженного проводника или конденсатора является энергией их электрических полей. Например, для однородного поля плоского конденсатора

, (4)

где V=Sd – объем поля конденсатора.

Объемная плотность энергии электростатического поля – это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии электрического поля, заключенной в элементе объема, к этому объему.

.

Формула (2) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках, формула (4) – с напряженностью поля. Логично поставить вопрос: где же локализована энергия, что является носителем энергии – заряды или поле? В пределах электростатики, которая изучает постоянные во времени поля неподвижных зарядов, дать ответ на этот вопрос невозможно. Постоянные поля и обусловившие их заряды не могут существовать обособленно друг от друга. Однако меняющиеся во времени поля могут существовать независимо от возбудивших их зарядов и распространяться в виде электромагнитных волн. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию. В частности, энергия, за счет которой существует жизнь на Земле, доставляется от Солнца электромагнитными волнами; энергия, заставляющая звучать радиоприемник, переносится от передающей станции электромагнитными волнами и т.д. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является поле.

С помощью выражения для потенциальной энергии можно найти силу, с которой пластины плоского конденсатора притягивают друг друга. Допустим, что расстояние между пластинами может меняться. Свяжем начало оси х с левой пластиной. Тогда координата х второй пластины будет определять зазор d между обкладками. Согласно (2)

.

Продифференцируем это выражение по х, полагая заряд на обкладках неизменным (конденсатор отключен от источника напряжения). В результате получим проекцию на ось х силы, действующей на правую пластину

.

Модуль этого выражения дает величину силы, с которой обкладки притягивают друг друга:

.