
- •3.1 Появление определителей в теории слау
- •3.2 Отображения
- •3.3 Перестановки n-ой степени
- •3.4 Четные и нечетные перестановки
- •3.5 Суммирование по множеству
- •3.6 Определитель n-го порядка
- •3.7 Свойства определителя
- •3.8 Теорема Лапласа
- •3.9 Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Определитель произведения матриц
- •Формула обратной матрицы
- •Теорема Крамера
- •Упражнения
- •Историческая справка
- •Литература Основная литература.
- •Задачники и дополнительные методические материалы.
3.5 Суммирование по множеству
Пусть
– непустое конечное множество элементов
произвольной природы,
,
и задано произвольное отображение из
в
,
т.е. каждому элементу
из
поставлено в соответствие некоторое
действительное число
,
.
Часто возникает необходимость в оперировании с суммой или произведением всех образов , когда пробегает множество .
На практике такая ситуация встречается постоянно. Простейшей моделью является множество предметов, загружаемых в контейнер. В этом случае в качестве отображения из в может быть рассмотрен перечень загружаемых предметов с указанием веса каждого из них, а суммой всех образов этого отображения является вес этого груза. Другим примером является зарплата коллектива работников цеха, отдела или предприятия (в качестве множества ). Отображением из в в этом случае является платежная ведомость, по которой каждый работник получает деньги в кассе.
Основной способ
введения обозначений для указанных
выше суммы и произведения (он уже
применялся выше при введении обозначений
для перестановок
-ой
степени) состоит в том, что мы, игнорируя
природу элементов множества
,
проводим их произвольную перенумерацию
от 1 до
,
вследствие чего множество
может быть заменено множеством
,
а элемент
этого множества – его номером
.
Тогда по определению
.
(3.15)
Переменный индекс , по которому идет суммирование и перемножение в левых частях равенства (3.15), называется иногда немым. Первое правило замены переменного в сумме и произведении состоит в том, что немой индекс может быть заменен на любой другой переменный индекс, например на индекс ,
.
В связи с тем, что операции сложения и умножения действительных чисел обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, порядок расположения элементов в правых частях равенства (3.15) безразличен и при его произвольном изменении значения всей суммы и всего произведения не изменяется. Иными словами, если – произвольная перестановка -ой степени, то в равенствах (3.15) справедливо следующее правило замены переменного,
,
.
Однако, в ряде случаев игнорирования природы элементов множества доставляет определенные неудобства и при суммировании и перемножении элементов желательно в качестве индекса вместо номера сохранить его первоначальное значение . В связи с этим в качестве обозначений, эквивалентных обозначениям (3.15), применяются обозначения:
, (3.16)
читается: сумма по всем элементам множества , и
, (3.17)
читается: произведение по всем элементам множества . При этом сформулированные выше правила замены переменного в сумме и произведении вида (3.15) справедливы также для суммы (3.16) и произведения (3.17). Именно,
.
где – произвольная перестановка элементов множества .
Лекции IX и X.
План
3.6 Определитель -го порядка.
3.7 Свойства определителя.
3.6 Определитель n-го порядка
Пусть
,
.
Определителем
матрицы
называется действительное число
,
которое вычисляется по правилу
,
(3.18)
где
(3.19)
Определитель
матрицы
также называется детерминантом
матрицы
,
и в этом случае используется обозначение
,
эквивалентное обозначению
.
Разберем подробно
случаи
.
1)
.
Множество
состоит из одной единичной перестановки
,
которую по аналогии с единичными
перестановками более высоких степеней
естественно считать четной. Поэтому
определитель матрицы
имеет вид
.
2)
.
Множество
перестановок второй степени состоит
из одной четной и одной нечетной
перестановки
,
,
.
Поэтому сумма (3.18) имеет два слагаемых,
.
3)
.
Множество
состоит из шести перестановок третьей
степени,
Перестановки
– четные, а перестановки
– нечетные. Поэтому
. (3.20)
При
формула (3.18) содержит уже 24 слагаемых,
в связи с чем становится ясно, что для
вычисления определителей достаточно
высокого порядка она мало пригодна.
Нашей ближайшей задачей является
изучение таких свойств определителя,
которые бы, в частности, позволили
разработать достаточно простой способ
их вычисления, отличный от прямого счёта
по формуле (3.18). Такой способ вычисления
будет изложен ниже в пункте 3.10.
Эффективность его настолько высока,
что, как правило, этот способ целесообразно
применять даже для вычисления определителей
третьего порядка, избегая при этом
использования формулы (3.20).
Принимая во внимание
запись определителя
в виде таблицы (3.18), ниже будем использовать
следующие термины с очевидным их
содержанием: определитель порядка
,
элемент определителя, строка определителя,
столбец определителя.