3.3 Перестановки n-ой степени

Пусть – конечное множество, состоящее из элементов. Поскольку в дальнейшем природа элементов этого множества для нас значения не имеет, будем считать, что . Через обозначим множество всех взаимнооднозначных отображений множества в себя. Элементы этого множества называются перестановками -ой степени.

Пусть . В развернутой форме отображение записывается как

,

или

с указанием всех образов , представляющих собой переставленные символы , откуда и идёт название перестановка. В связи с этим перестановку обычно изображают таблицей

, (3.7)

где . В верхнем ряду таблицы (3.7) числа не обязательно должны стоять в порядке возрастания слева - направо. Важно, чтобы под символами верхнего ряда стояли их образы при отображении .

Например,

. (3.8)

В связи с этим перестановку из будем иногда записывать в виде

, (3.9)

где – произвольным образом переставленные символы , а запись перестановки в виде (3.7) будем называть канонической.

Перестановка

является обратной к перестановке вида (3.9) и обозначается .

Например, если имеет вид (3.8),

.

Операция умножения перестановок -ой степени вводится как композиция отображений,

.

Например, если

,

то

.

Множество замкнуто относительно операции композиции отображений, т.е. произведение перестановок -ой степени является перестановкой -ой степени. Действительно, композиция обратимых отображений и является обратимым отображением и , т.к.

и аналогично .

Но тогда по критерию обратимости отображения (см.п.3.2) –биективное отображение, т.е. перестановка -ой степени.

Множество содержит тождественное отображение, которое обозначается буквой , ,

и называется единичной перестановкой. Очевидно, что для всех

из , т.е. играет роль единицы для операции умножения перестановок. Учитывая, что , причем

,

получаем, что множество перестановок -ой степени по операции умножения перестановок образует группу.

Покажем, что , т.е. число различных перестановок -ой степени равно . При построении перестановки вида (3.7) элемент вида можно выбрать способами, тогда для выбора элемента остаётся возможность, а пара { } может быть выбрана способами. Для выбора элемента остаётся возможности, а тройка { } может быть выбрана способами. Продолжая этот процесс, получаем, что набор { } из различных элементов множества может быть выбран

способами. После этого последний элемент выбирается автоматически как единственный оставшийся элемент множества . Таким образом .