13) Основные свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Формулы для его вычисления

1. Криволинейный интеграл 2-го рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования.

.

2.  Остальные свойства криволинейного интеграла 2-го рода аналогичны свойствам 2-4 интеграла 1-го рода.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода

1. При явном задании кривой к уравнением криволинейный интеграл вычисляется по формуле

т.е. криволинейный интеграл преобразуется в обыкновенный по х.2. При параметрическом задании кривой К уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , формула для вычисления криволинейного интеграла 2-го рода имеет вид

3. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода по пространственной кривой K; если кривая задана уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), где  , проводится по формуле

15) Независимость криволинейного интеграла от контура интегрирования

Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области D и контур К целиком находится в этой области. Тогда необходимым и достаточным условием независимости криволинейного интеграла

от контура интегрирования является выполнение в области D тождества В этом случае интеграл зависит только от начальной (x₀; y₀) и конечной (x₁; y₁) точек пути интегрирования.При выполнении указанных действий криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру С, содержащемуся в области D, равен нулю:

Для вычисления интеграла ,не зависящего от контура интегрирования [выполнено тождество (138)] в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования следует выбрать ломаную, соединяющую точки (x₀; y₀) и (x₁; y₁), звенья которой параллельны осям Ох и Оу.Подынтегральное выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy в этих условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции U = U(x, y), т.е.dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. (140)

Функцию U(x, y) (первообразную) можно найти, вычисляя соответствующий криволинейный интеграл по ломаной A₀A₁B, где A₀(x₀; y₀) - произвольная фиксированная точка, В(х, у) - переменная точка, а точка А₁ имеет координаты х и у₀. Тогда вдольA₀A₁ имеем y = y₀ и dy = 0, а вдоль A₁B имеем x = const и dx = 0. В результате получаем следующую формулу: где С – произвольная постоянная.Аналогично, интегрируя по ломаной A₀A₁B, где A₂(x₀; y), получим

16) 4. Приложения криволинейного интеграла первого рода к решению некоторых задач механикиЕсли   - линейная плотность плоской материальной кривой АВ, то численное значение массы кривой АВ равно интегралу В случае пространственной кривой АВ соответственно Координаты центра тяжести (х₀, у₀) плоской кривой вычисляются по формулам

  для пространственной кривой АВ     Статические моменты материальной кривой относительно оси ох и оси оу соответственно определяются интегралами   Моменты инерции относительно координатных осей вычисляются по формулам     где r_x, r_y, r_z - расстояния от точки до соответствующих осей координат.

18) Поверхностный интеграл первого рода.Определение.Пусть   — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на   задана функция  . Рассмотрим разбиение   этой поверхности на части   кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку  . Вычислив значение функции в этой точке   и, приняв за   — площадь поверхности   рассмотрим сумму  .

Тогда число   называется пределом сумм  , если:

Предел   сумм   при   называется поверхностным интегралом первого рода от функции   по поверхности   и обозначается следующим образом:

Параметрическая форма.Пусть на поверхности   можно ввести единую параметризацию посредством функций

заданных в ограниченной замкнутой области   плоскости   и принадлежащих классу   в этой области. Если функция   непрерывна на поверхности  , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности   существует и может быть вычислен по формуле:

, где:

Свойства.Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности.Линейность:  ;Аддитивность:  ;Монотонность: если  , то  для   если  , то  Теорема о среднем для непрерывной функции   и замкнутой ограниченной поверхности  :

19)Стокса формула, формула преобразования криволинейного интеграла по замкнутому контуру L в поверхностный интеграл по поверхности S, ограниченной контуром L. С. ф. имеет вид:

 ,причём направление обхода контура L должно быть согласовано с ориентацией поверхности S. В векторной форме С. ф. приобретает вид:

 ,где а = Pi + Qj + Rk, dr — элемент контура L, ds — элемент поверхности S, n — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. Физический смысл С. ф. состоит в том, что циркуляция векторного поля по контуру L равна потоку вихря поля через поверхность S. С. ф. предложена Дж. Г. Стоксом в 1854.

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции справедлива теорема Стокса: где − ротор векторного поля  . Символ   показывает, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой. Будем предполагать, что ориентация поверхности и направление обхода кривой соответствуют правилу правой руки. В этом случае при обходе кривой поверхность всегда остается слева, если голова направлена в ту же сторону, что и вектор нормали   (рисунок 1).  Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.  В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде

20) Формула Остроградского—Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхности G и тройным интегралом по пространственной области    = G, и обобщает формулу Грина на пространственный случай. Т: Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области = G — гладкая ориентированная поверхность. Тогда справедлива формула

 (27.9)

причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G

Формула (27.9) и носит название формулы Остроградского— Гаусса.ГАУССА-ОСТРОГРАДСКОГО ФОРМУЛА - одна из основных интегральных теорем векторного анализа, связывающая объемный интеграл с поверхностным: Здесь   - замкнутая поверхность, ограничивающая 3-мерную область V, а_п - проекция вектора   на внеш. нормаль к поверхности. Получена Дж. Грином (G. Green) и M. В. Остроградским в 1828, в частном случае К. Ф. Гауссом в 1813. Г.- О. ф. утверждает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность (левая часть равенства) равен полной силе источников этого поля, заключённых внутри поверхности (правая часть). Из Г.- О. ф. следует, что поток поля, свободного от источников (т. е. такого, что   ), через любую замкнутую поверхность равен нулю. Г.- О. ф. и Стокса формула являются частными случаями теоремы Стокса, к-рая связывает между собой интегралы от дифференциальных форм разных размерностей.

22) Числовым рядом называется выражение вида где  – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда,   - общим членом ряда.Ряд считается заданным, если известен общий член ряда  , выраженный как функция его номера n:  .Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через  , т.е.   Если существует конечный предел   последовательности частичных сумм ряда  , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают:  Если   не существует или  = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на число c также сходится и имеет сумму, равную S, т.е.

Следовательно, общий множитель членов сходящихся рядов можно выносить за скобки, имея при этом в виду выполнение равенства Пусть даны два ряда с общими членами  и  :

Тогда ряд с общим членом называют суммой этих рядов, т.е.

22) Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна где  и  - суммы слагаемых рядов, т.е.

Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать, имея при этом в виду для суммы рядов выполнение равенства (16), а для разности рядов – равенства

Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд также сходится.Таким образом, на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов. В ряде можно отбрасывать или прибавлять к нему любое конечное число членов. От этого сходимость (или расходимость) ряда не нарушается, но меняется его сумма.Если сходимость ряда установлена на основании определения сходимость, то одновременно будет найдена и его сумма. Так мы поступили при исследовании сходимости рядов (2) и (3). Однако таким способом решить вопрос о сходимости ряда часто бывает весьма трудно. Поэтому используют другой способ, который даёт возможность лишь установить факт сходимости (расходимости) ряда, так как сумму сходящегося ряда можно всегда найти с любой степенью точности, подсчитав сумму достаточно большого числа его первых членов.

23) Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена   при   равен нулю:   .Доказательство. Представим  -й член как  . Поскольку ряд сходится, то  ,  поэтому  .

Пример. Проверить выполнение необходимого признака сходимости ряда  .Решение.  , т.е. необходимый признак сходимости выполняется.

Гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных числам натурального ряда:т.е. сумма всех чисел вида 1/n, где n - натуральное число, изменяющееся от нуля до бесконечности.Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим среднимдвух соседних.

3.    Оценка двойного интеграла снизу и сверху: если  , то  где S - площадь области D.

17) 1. Длина дуги АВ плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

2. Вычисление площади.Площадь S фигуры, ограниченной простым замкнутым С, находится по формуле Контур интегрирования проходится так, что ограниченная им область остается слева (положительное направление обхода).3. Вычисление массы кривой.

Масса m материальной кривой L, имеющей переменную линейную плоскость  (х, у), вычисляется по формуле

4. Координаты центра тяжести

,  ,  .5. Работа, совершаемая силой  , действующей на точку при перемещении ее по кривой L, вычисляется по формуле

21) Ро́тор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем.Обозначается rot (в русскоязычной литературе) Ротор   векторного поля   — есть вектор, проекция которого   на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении  , контур L обходился по часовой стрелке^[3].В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом:

21)Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

где   — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,   — бесконечно малое приращение радиус-вектора   вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.Дивергенция — это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.Оператор дивергенции, применённый к полю  , обозначают как .Определение дивергенции выглядит так: где Ф_F — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом Vдопускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю (то есть чтобы вся поверхность находилась в бесконечно малой окрестности данной точки, что нужно, чтобы дивергенция была локальной операцией и для чего очевидно недостаточно стремления к нулю площади поверхности и объема ее внутренности). В обоих случаях подразумевается, что .Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях.Под объемом понимается n-мерный объем, а под площадью поверхности (n-1)-мерная площадь (гипер)поверхности соответствующей размерности.

24) Признаки сравнения.Если  и  ряд   сходится, то сходится и  ряд  Если  , и  ряд   расходится, то расходится и  ряд  .Признак Д’Аламбера.Если существует   то:       при   ряд   сходится;       при   ряд   расходится. Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда  и  , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся;Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ;Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  .

25)признакКоши.Если существует   то:       при   ряд   сходится;       при   ряд   расходится.

Интегральный признак.Пусть задан ряд  ,члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции   на промежутке  .Тогда ряд   сходится,если сходится несобственный интеграл  .Если же   расходится,то ряд   также будет расходящимся.