Момент инерции плоской фигуры2) относительно оси OX3)
Координаты центра тяжести однородной пластинки3)

7)

1)

1)

5)

6)

6) Вычисление площади плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле . (105)Если область определена в прямоугольной системе координат неравенством  , то из (105) имеем . (106)Если область D определена в полярных координатах неравенством  ,  , то . (107)

6) Вычисление объема тела

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоскостью z = 0 и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости хОу область D, вычисляется по формуле

. (111)

При z = f (x, y) < 0 объем цилиндрического тела вычисляется по формуле

,

т.е. равен модулю двойного интеграла.

Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких цилиндрических тел.

4) 24. 2 §5. Замена переменных в двойном интеграле

 

Формула замены переменных в двойном интеграле - это одна из наиболее важных формул в теории двойного интеграла. Пусть U - некоторая область в пространстве R² с координатами (u, v) и V - область в пространстве R² с координатами (x, y). Напомним, что область - это открытое линейно связное множество. Напомним также, что отображение F : U  V называется заменой переменных класса C^k, или диффеоморфизмом, если выполняются свойства:

1) F - отображение класса C^k, k  1;

2) F - взаимно однозначное отображение.

3) обратное отображение F^-1 : V  U является класса C^k. 

Пусть отображение F : U  V задается функциями

. Тогда матрица

называется матрицей Якоби. Определитель  этой  матрицы называется якобианом и обозначается обычно символом: I(u, v) = det F ^'(u, v). Предположим, что области U и V измеримые.

Теорема 1. Если функция f(x, y) непрерывна и интегрируема на V и F : U  V - замена переменных, то функция f(x(u, v), y(u, v)) интегрируема на U и имеет место формула

2) 24. Правила вычисления двойных интегралов

Различают два основных вида области интегрирования:

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b (a < b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми   и    , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

. (96)

В формуле (96) вначале вычисляется интеграл  , в котором х считается постоянной.

2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y = c y = d (c < d), а слева и справа – непрерывными кривыми   и    , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 7).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

. (97)

Вначале вычисляется интеграл  , в котором у считается постоянной.

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 7.1. Основные понятия и определения.Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция z=ƒ(х;у). Разобьем область D на n «элементарных областей»    площади которых обозначим через ΔS_i, а диаметры (наи большее расстояние между точками области) - через d_i(см. рис. 3).

В каждой области D_i выберем произвольную точку M_i(x_i;y_i), умножим значение ƒ(х_i;у_i) функции в этой точке на ΔS_i и составим сумму всех таких произведений:

  Эта сумма называется интегральной суммой функции ƒ(х;у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (7.1), когда n стремится к бесконечности таким образом, что maxd_i -> 0. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции ƒ(х;у) по области D и обозначается Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция ƒ(х;у) называется интегрируемой в области D; D - область интегрирования; х и у - переменные интегрирования; dxdy (или dS) - элемент площади.