20.Неоднородные линейные уравнения высших порядков
21.Системы ду. Нормальная система
Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
(1.1)
где
,
– неизвестные функции от независимой
переменной x, подлежащие определению;
,
– известные функции от
,
заданные и непрерывные в некоторой
области. Число n называется порядком
системы (1.1). В дальнейшем ограничимся
рассмотрением систем второго порядка
(n=2).
Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений
(1.2)
где
и
– заданные и непрерывные в некоторой
области функции. Пара функции (y(x); z(x)),
определенная на (a,b), имеющая непрерывные
производные и удовлетворяющая на (a,b)
обоим уравнениям системы (1.2), называется
ее решением.
Задача
нахождения решения (y(x); z(x)), удовлетворяющего
начальным условиям
,
где
– заданные числа (начальные данные),
называется задачей Коши.
22.Геометрический смысл решения системы ду
23.Интегрирование систем ду
Системы дифференциальных уравнений n–го порядка можно решать сведением к уравнению n–го порядка. Такой метод решения систем называетсяметодом исключения.
Рассмотрим, например, нормальную систему дифференциальных уравнений 2 –го порядка
Исключим функцию y2. Для этого сначала выразим y2 через x и y1 из первого уравнения системы , затем продифференцируем по x первое уравнение системы, заменяя y2 полученным для него выражением, а производную y2 − правой частью второго уравнения системы:
Получили обыкновенное дифференциальное уравнение 2 –го порядка
Таким же образом решают методом исключения произвольные системы n–го порядка: дифференцируют уравнения системы и, последовательно исключая функции y2, ..., yn и их производные, сводят систему к одному дифференциальному уравнению n–го порядка относительно y1.
24.Системы ду с постоянными коэффициентами
ЛОС ДУ с постоянными коэффициентами.
Эта система имеет вид
(4.1)
где
- постоянные. Система (4.1) имеет
фундаментальную систему решений,
состоящую из элементарных функций.
Основным методом построения фундаментальной
системы решений (4.1) является метод
Эйлера. Согласно этому методу, решение
ЛОС ДУ ищется в виде
Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):
Сокращаем
оба уравнения системы на
:
(4.2)
Так
как
- некоторые постоянные числа, подлежащие
определению, среди которых хотя бы одно
отлично от нуля, то определитель системы
(4.2) должен быть равен нулю
(4.3)
Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.
Оба
корня характеристического уравнения
вещественны и различны:
.
Подставляем
в одно из уравнений системы (4.2), например,
в первое уравнение:
Из него с точностью до константы
определяем
,
откуда получаем первое решение ЛОС ДУ:
.
То же самое проделываем со вторым корнем
характеристического уравнения
и в результате получаем второе, линейно
независимое на
,
решение ЛОС ДУ:
.
Следовательно, согласно теореме 2 §3
общим решением системы (4.1) будет следующее
семейство функций:
.
2.
Если
- корень характеристического уравнения,
то
.
Подставляем
в одно из двух уравнений системы (4.2) и
с точностью до постоянной получаем
.
Теперь можно составить первое решение
системы (4.1):
.
Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.
Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:
.
3.
В
случае кратного корня характеристического
уравнения предлагается представить
общее решение системы уравнений (4.1) в
следующем виде:
,
где
- постоянные числа, причем
и
должны быть выражены через
и
.
Рассмотрим поясняющий пример.
25.Решени систем ленейных ДУ высших порядков с постоянным коэффициентам
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений связано с понятием линейной независимости функций. Функции у1, у2, .... yn называются линейно зависимыми в данном интервале изменения аргумента х, если в этом интервале выполняется тождество C1y1+C2y2+…+Cnyn=0, где C1, C2, ..., Сn - постоянные, из которых хоть одна отлична от нуля. Если же в данном интервале изменения х указанное тождество выполняется только тогда, когда все постоянные С1, С2, ..., Сn равны нулю, то функции у1, у2, ..., yn называются линейно независимыми в данном интервале.
Необходимое условие линейной зависимости функции: если функции у1, у2, ..., уn линейно зависимы в данном интервале изменения аргумента, то определитель Вронского (вронскиан)
тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда: если W(y1, y2, ..., yn)≠0, то функции линейно независимы в этом интервале (достаточное условие линейной независимости функций).
Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами а0, a1, ..., an:
Общее решение имеет вид
здесь С1, С2, …, Сn - произвольные постоянные; у1, y2, …, yn - линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения (система таких решений называется фундаментальной); у* - какое-либо частное решение данного неоднородного уравнения.
Для отыскания у1, у2, ..., уn следует найти корня характеристического уравнения:
Простому
действительному корню rm соответствует
решение однородного уравнения 
Действительному корню rm кратности k соответствуют решения
Если
rm=α+iβ (комплексный корень), то имеется
и сопряженный корень 
;
этой паре корней соответствуют
Если rm=α+iβ - комплексный корень кратности k, то имеется и сопряженный корень той же кратности k; этой паре корней соответствуют решения
ПРИМЕР 1. Уравнение изгиба балки на упругом основании
Характеристическое
уравнение k4+b4=0 имеет корни 
отсюда получаем
Общее решение однородного уравнения
Для нахождения частного решения у* неоднородного уравнения либо применяют способ неопределенных коэффициентов, если правая часть имеет структуру, указанную выше (см. 1.9.4), либо пользуются вариацией произвольных постоянных. При этом в общем случае частное решение у* ищут в форме
Производные С′i(х) определяют из системы алгебраических линейных уравнений, определитель которой есть определитель Вронского, отличный от нуля в силу линейной независимости решений y1, у2, ..., уn:
имея C′i(x) находят интегрированием Сi(х).
Наряду с методом вариации произвольных постоянных применяется «символический метод» [1.11.1].