Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТАН.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
22.04.2019
Размер:
7.39 Mб
Скачать

1. Математическое программирование – это раздел математики, кот занимается разработкой методов отыскания экстремальных значений ф-ии, на аргументы кот. Накладываются условия. Осн этапы исследования: 1. Постановка задачи, 2. Построение матем. Модели(построение экономической модели: α1α2…αn – постоянные условия, x1 x2 …xn – переменные условия, fi(a1…an,x1…xn){<=,>=,<,>,=}bi, i=1,n; z(a1…an,x1…xn)->min, max),

3. Находжение методов решения задачи:

- если ф-ии fi, z – линейные, раздел линейного программирования,

- если не явл линейными, то раздел – нелинейное программирование;

-если явл дифференциальными, то выпуклым программированием;

- если в целев ф-ию и в систему огр-ий включен временный параметр t, то динамическое программирование;

- если на переменные накладываются условия ограниченности и вводятся параметры, программирование параметрическое;

- если ф-ия z=Eci x1^a1*x2^a2…xn^an, то геометрическое программирование;

- если на переменную xi накладываются условия целочисленности, то дискретное/целочисленное программирование;

- эвристическое программ-ие, схоластика – теория игр.

4.Проверка и корректировка полученной модели, 5. Выводи и реализация полученной модели на практике.

2. Общая постановка злп. Каноническая форма злп.

{a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1

|a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 (*(-1)) (1)

………

{am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm

z(x1,x2…xn)=C1x1+…Cnxn  max (-f(x)min) (2)

xi≥0, i=1,n. (3)

Задача (1)-(3) – ЗЛП, х1 – любая, xi=xi’-xi”, xi’>=0, xi”>=0

{AX≤B

|Z=C*Xmax (векторно-матричный вид)

{X≥0

Теорема. К любому набору (а1,а2…аn), который явл решением нер-ва ai1x1+ai2x2+…+ainxn<=bi, соответствует определенное решение a1,a2…an,an+1 уравнения ai1x1+ai2x2+…+ainxn + xn+1=bi; xn+1 – балансовая переменная.

{AX=B

|Z=C*X max

{X≥0

Определение. 1. Любой набор чисел x1,x2…xn, кот удовл системе ограничений (1), называется допустимым решением. 2. Допустимое решение, на кот достигается требуемый оптимум целевой ф-ии (2), наз-ся оптимальным решением ЗЛП. 3.Если все ограничения в системе огр-ий (1) состоят только из нер-в, - такая задача стандартная. 4.Если система ограничений состоит только из уравнений, bi – положительные, то ЗЛП – каноническая. 5. если в СО как ур-я, так и нер-ва, то ЗЛП – общая.

3. Базисные и свободные неизвестные, базисные решения.

{a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1

|a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 (1)

|……

{am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm, m<n, rgA=m.

Любые m-переменных системы (1) наз базисными(основными), если определитель коэффициентов перед этими переменными отличен от нуля. Оставшиеся (m-n) переменных называются свободными/неосновными. (Сn)^m – число сочетаний,

(Cn)^m=n1/(n-m)!m!. В общ случае, базисных переменных не более числа сочетаний (Cn)^m. Теорема. Если для системы (1) ранг матрицы равен m (rgA=m), то сущ-т хотя бы одна группа базисных переменных, система явл неопределенной, причем каждому набору свободных переменных соотв одно решение системы. Док-во: Пусть x1,x2..xm – базисные для системы (1). Определитель стоящих перед ними коэф-тов не равен нулю. Тогда систему (1) можно переписать в след виде:

a11x1+a12x2+…a1mxm=b1-a1m+1*xm+1-…-a1nx1n

am1x1+am2x2+…+amn+1 xm=bm- amm+1xmm+1-…-amnxmn.

Задавая значение свободных переменных, каждый раз будем получать систему с новым свободным членом. Т.к. определитель системы |A|≠0, и он один и тот же во всех случаях, то, по теории Крамера, каждая из полученных систем имеет, и при том, единственное решение. Определение. 1. решение системы (1) наз-ся допустимым, если оно содержит только неотрицательные компоненты. 2. Базисным решением С(1) наз-ся решение, в кот все свободные переменные равны нулю. 3. Допустимое базисное решение называется опорным решением.

4. Выпуклые множества. Выпуклая линейная комбинация точек. Угловые точки.

Множ-во точек называется выпуклым, если вместе с 2мя любыми точками множества лежит и отрезок, соединяющий их. Точка называется внутренней для множества, если она принадлежит множеству вместе с некот окрестностью. Точка наз-ся граничной для Мн-ва, если в нек-й окрестности этой точки есть точки, как принадл, так и не принадл множ-ву.

Пусть заданы точки x1,x2…xn. Точка х наз-ся выпуклой линейной комбинацией указ-х точек, если x=a1x1+a2x2+…+anxn. E i=1 n = 1, ai≥0, i=1,n

Точка называется угловой, если она не явл внутренней ни для какого отрезка, полностью лежащего в данном множестве.