- •3. Находжение методов решения задачи:
- •4.Проверка и корректировка полученной модели, 5. Выводи и реализация полученной модели на практике.
- •2. Общая постановка злп. Каноническая форма злп.
- •3. Базисные и свободные неизвестные, базисные решения.
- •5. Теорема о выпуклом многоугольнике.
- •8. Опорные прямые. Опорные решения. Симплексные преобразования.
- •9. Связь угловых точек с опорными решениями.
- •13. Критерий оптимальности для максимизации задач.
- •14. Двойственные задачи. Экономическая интерпретация двойственных задач.
- •15. Принципы построения двойственных задач. Связь между ними.
- •16. Симметричные двойственные задачи. Нахождение опт-решения.
- •17. Теоремы двойственности. Основное неравенство двойственности.
- •18. Транспортные задачи. Экономико-матем-ая модель тз.
- •19. Теорема о разрешимости тз.
- •20. Нахождение исходного опорного решения тз.
- •21. Переход к новому опорному решению тз.
- •26. Открытая модель тз. Сведение ее к закрытой модели.
- •27. Постановка задачи целочисленного программирования.
- •29. Понятие об игровых моделях. Классификация игр.
- •30. Приведение экономических задач к теоретико-игровой форме.
- •3 1. Парная конечная игра. Платежная матрица. Максиминная и минимаксная стратегии.
- •32. Цена игры. Устойчивость решений. Седловые точки.
- •35. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.
- •36. Приведение матричной игры к злп.
- •37. Общая постановка задач динамического программирования.
- •38. Принцип оптимальности динамического программирования.
- •39. Принцип оптимальности Беллмана.
- •40. Примеры экономических задач, решаемых методом динамического программирования.
- •1. Задача о наборе самолетом высоты и скорости
- •2. Задача о распределении кредита.
- •3. Задача об оценке эффективности системы по критерию "затраты-эффект".
1. Математическое программирование – это раздел математики, кот занимается разработкой методов отыскания экстремальных значений ф-ии, на аргументы кот. Накладываются условия. Осн этапы исследования: 1. Постановка задачи, 2. Построение матем. Модели(построение экономической модели: α1α2…αn – постоянные условия, x1 x2 …xn – переменные условия, fi(a1…an,x1…xn){<=,>=,<,>,=}bi, i=1,n; z(a1…an,x1…xn)->min, max),
3. Находжение методов решения задачи:
- если ф-ии fi, z – линейные, раздел линейного программирования,
- если не явл линейными, то раздел – нелинейное программирование;
-если явл дифференциальными, то выпуклым программированием;
- если в целев ф-ию и в систему огр-ий включен временный параметр t, то динамическое программирование;
- если на переменные накладываются условия ограниченности и вводятся параметры, программирование параметрическое;
- если ф-ия z=Eci x1^a1*x2^a2…xn^an, то геометрическое программирование;
- если на переменную xi накладываются условия целочисленности, то дискретное/целочисленное программирование;
- эвристическое программ-ие, схоластика – теория игр.
4.Проверка и корректировка полученной модели, 5. Выводи и реализация полученной модели на практике.
2. Общая постановка злп. Каноническая форма злп.
{a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1
|a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 (*(-1)) (1)
………
{am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm
z(x1,x2…xn)=C1x1+…Cnxn max (-f(x)min) (2)
xi≥0, i=1,n. (3)
Задача (1)-(3) – ЗЛП, х1 – любая, xi=xi’-xi”, xi’>=0, xi”>=0
{AX≤B
|Z=C*Xmax (векторно-матричный вид)
{X≥0
Теорема. К любому набору (а1,а2…аn), который явл решением нер-ва ai1x1+ai2x2+…+ainxn<=bi, соответствует определенное решение a1,a2…an,an+1 уравнения ai1x1+ai2x2+…+ainxn + xn+1=bi; xn+1 – балансовая переменная.
{AX=B
|Z=C*X max
{X≥0
Определение. 1. Любой набор чисел x1,x2…xn, кот удовл системе ограничений (1), называется допустимым решением. 2. Допустимое решение, на кот достигается требуемый оптимум целевой ф-ии (2), наз-ся оптимальным решением ЗЛП. 3.Если все ограничения в системе огр-ий (1) состоят только из нер-в, - такая задача стандартная. 4.Если система ограничений состоит только из уравнений, bi – положительные, то ЗЛП – каноническая. 5. если в СО как ур-я, так и нер-ва, то ЗЛП – общая.
3. Базисные и свободные неизвестные, базисные решения.
{a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1
|a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 (1)
|……
{am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm, m<n, rgA=m.
Любые m-переменных системы (1) наз базисными(основными), если определитель коэффициентов перед этими переменными отличен от нуля. Оставшиеся (m-n) переменных называются свободными/неосновными. (Сn)^m – число сочетаний,
(Cn)^m=n1/(n-m)!m!. В общ случае, базисных переменных не более числа сочетаний (Cn)^m. Теорема. Если для системы (1) ранг матрицы равен m (rgA=m), то сущ-т хотя бы одна группа базисных переменных, система явл неопределенной, причем каждому набору свободных переменных соотв одно решение системы. Док-во: Пусть x1,x2..xm – базисные для системы (1). Определитель стоящих перед ними коэф-тов не равен нулю. Тогда систему (1) можно переписать в след виде:
a11x1+a12x2+…a1mxm=b1-a1m+1*xm+1-…-a1nx1n
am1x1+am2x2+…+amn+1 xm=bm- amm+1xmm+1-…-amnxmn.
Задавая значение свободных переменных, каждый раз будем получать систему с новым свободным членом. Т.к. определитель системы |A|≠0, и он один и тот же во всех случаях, то, по теории Крамера, каждая из полученных систем имеет, и при том, единственное решение. Определение. 1. решение системы (1) наз-ся допустимым, если оно содержит только неотрицательные компоненты. 2. Базисным решением С(1) наз-ся решение, в кот все свободные переменные равны нулю. 3. Допустимое базисное решение называется опорным решением.
4. Выпуклые множества. Выпуклая линейная комбинация точек. Угловые точки.
Множ-во точек называется выпуклым, если вместе с 2мя любыми точками множества лежит и отрезок, соединяющий их. Точка называется внутренней для множества, если она принадлежит множеству вместе с некот окрестностью. Точка наз-ся граничной для Мн-ва, если в нек-й окрестности этой точки есть точки, как принадл, так и не принадл множ-ву.
Пусть заданы точки x1,x2…xn. Точка х наз-ся выпуклой линейной комбинацией указ-х точек, если x=a1x1+a2x2+…+anxn. E i=1 n = 1, ai≥0, i=1,n
Точка называется угловой, если она не явл внутренней ни для какого отрезка, полностью лежащего в данном множестве.