Математические модели

     Наиболее важным этапом при построении модели является переход от содержательного описания к формальному, что объясняется участием на этом этапе специалистов в предметной области, где существует моделируемая система, и специалистов в области моделирования систем. Наиболее удобным языком для их общения, целью которого является построение адекватной модели системы, обычно, является язык математических описаний. Математическое описание системы компактно и удобно для дальнейших реализаций на компьютере, с целью проведения статистических испытаний, поэтому рассмотрим эти модели в первую очередь.

Построение математической модели системы

     Систему S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих следующие подмножества:

подмножество входных воздействий:

x _i є X , i = 1,2, ... ,n_х·

или вектор входящих воздействий

подмножество воздействий внешней среды:

v_l є V , l = 1,2, ... ,n _V

или вектор воздействия внешней среды

подмножество собственных параметров системы:

h_k є Н, k = 1, 2, n_H

или вектор внутренних параметров

подмножество выходных характеристик системы:

y_j є У, j = 1,2, ... ,n_Y

или вектор выходных характеристик

     Подмножества Х, V и Н являются независимыми (экзогенными), У является зависимым (эндогенным) подмножеством. Процесс функционирования системы описывается во времени оператором F_S который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением

(*)

      Эта зависимость называется законом функционирования системы S. Закон функционирования F_S , может быть задан в виде функции, функционала, логических условий, алгоритмически или таблично, а также в виде словесного набора правил соответствия. Совокупность зависимостей выходных характеристик системы от времени называется выходной траекторией  . Соотношение (*) является математическим описанием поведением системы во времени, поэтому модели такого типа называются динамическими моделями.

     Если закон функционирования не содержит параметра времени, то такие модели называются статическими и отображают связь между подмножеством    и подмножествами     и записывается как

     Если в динамической модели дискретизировать время, то в каждый момент времени можно определить состояние системы

z_р є Z, p = 1,2, ... , n_Z . Множество Z всех возможных состояний системы называется пространством состояний системы. Процесс функционирования системы, изменяющей свое состояние в фиксированные моменты времени, можно описать векторными уравнениями:

     Первое уравнение по начальному состоянию    и экзогенным переменным определяет следующее состояние, а второе по значению состояния      определяет эндогенные переменные на выходе системы.