Министерство образования Российской Федерации
Томский политехнический университет
Ю. Я. Кацман прикладная математика Численные методы
Учебное пособие
Томск 2000
УДК 519.6(075.8)
Кацман Ю. Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 2000. – 68 с.
В пособии в краткой форме изложены теоретические вопросы первой части курса прикладной математики, рассмотрены наиболее известные и широко применяемые методы вычислений. Каждая тема, при необходимости. иллюстрируется графически, после рассмотрения теоретического материала даны примеры расчетов. В конце каждого раздела приведены вопросы для самоконтроля. Пособие подготовлено на кафедре вычислительной техники, соответствует программе дисциплины и предназначено для студентов Центра дистанционного образования.
Печатается по постановлению Редакционно-издательского Совета Томского политехнического университета.
Рецензенты:
А.И. Кочегуров – доцент факультета систем управления Томского университета систем управления и радиоэлектроники.
В.И. Рейзлин – доцент кафедры автоматизации проектирования Томского политехнического университета.
Темплан 2000
© Томский политехнический университет, 2000
Оглавление
Оглавление 3
1. Элементы теории погрешностей 4
2. Численное интегрирование 8
2.1. Постановка задачи 8
2.2. Формула прямоугольников 9
2.3. Формула трапеций 10
2.4. Формула Симпсона 11
2.5. Вычисление определенных интегралов методами Монте–Карло 12
3. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 16
3.1. Решение задач линейной алгебры 16
3.2. Метод Гаусса 18
3.3. Схема Гаусса с выбором главного элемента 21
3.4. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса 23
3.5. Вычисление определителей методом Гаусса 24
3.6. Метод простой итерации (метод Якоби) 25
3.7. Метод Зейделя 27
3.8. Метод скорейшего спуска (градиента) для случая системы линейных алгебраических уравнений 29
4. Приближенное решение нелинейных и трансцендентных уравнений 33
4.1. Постановка задачи 33
4.2. Графическое решение уравнений 33
4.3. Метод половинного деления (дихотомии) 34
4.4. Метод хорд 35
4.5. Метод Ньютона (метод касательных) 36
4.6. Комбинированный метод 37
5. Приближенное решение систем нелинейных уравнений 40
5.1. Метод Ньютона 40
5.2. Метод градиента (метод скорейшего спуска) 42
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 46
6.1. Методы решения задачи Коши 46
6.2. Метод рядов, не требующий вычисления производных правой части уравнения 48
6.3. Метод Рунге-Кутта 49
6.4. Многошаговые методы 51
6.5. Экстраполяционные методы Адамса 52
6.6. Интерполяционные методы Адамса 53
7. Интерполирование и приближение функций 55
7.1. Задача интерполирования и аппроксимации функций 55
7.2. Интерполирование алгебраическими многочленами 55
7.3. Интерполяционная формула Ньютона 56
7.4. Сходимость интерполяционного процесса 58
7.5. Задача обратного интерполирования 59
7.6. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов 60
7.7. Суть метода наименьших квадратов 61
Литература 64