11) Алгоритм деления с остатком

Для любых f(x), g(x) существуют q(x) (частное) и r(x) (остаток), такие, что f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем степень r(x) < степени g(x) или r(x) = 0. Многочлены g(x) и r(x) определены однозначно.

Частное и остаток находят с помощью так называемого правила деления "уголком".

Пример:

Делители многочлена.

Делитель многочлена f(x) - многочлен g(x), такой, что f(x) = g(x)q(x).

Наибольший общий делитель двух многочленов .

Наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) - такой их общий делитель d(x), который делится на любой другой их общий делитель.

12) Корни многочлена.

Расмотрим многочлен :

, где a1, a2, ..., an − целые числа, an ≠ 0.

Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень , то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство:

Действительно, если число является корнем многочлена , то . А именно: . Умножим обе части этого уравнения

на , получим: . Так как

- целые числа, то в скобке стоит целое число. Значит, вся правая часть этого равенства делится на q , так как q входит в неё в качестве сомножителя. А значит и левая часть тождества делится на q , так как она равна правой. Число p не делится на q , так как иначе дробь была бы сократимой, значит и не делится на q . Следовательно, на q делится единственный из оставшихся сомножителей левой части, а именно . Теорема доказана!

13) Метод горнера.

Метод Горнера - алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке.

Для вычисления коэффициентов частного и остатка от деления многочлена

на линейный двучлен x-s очень удобно использовать схему Горнера.

Заполняется таблица:

Полученные числа являются коэффициентами частного от деления многочлена на двучлен, а - остатком. То есть,

Пример.

Найти частное и остаток от деления многочлена на линейный двучлен х-1.

Решение.

В нашем примере s = 1, коэффициенты .

Воспльзуемся схемой горнера:

Таким образом - частное , а - остаток от деления.

14) Основна́я теоре́ма теории многочленов:

Всякий отличный от константы многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

СЛЕДСТВИЕ.

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.

У многочлена f(x) есть корень a, значит, по теореме Безу, он представим в виде (x − a)g(x), где g(x) — другой многочлен. Применим теорему к g(x) и мы должны будем применять её до тех пор, пока на месте g(x) не окажется линейный множитель.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x − a равен P(a).