9.Уравнение статики атмосферы, барометрическая формула, ее применение, барическая ступень.

Уравнение статики атмосферы есть уравнение изменения давления с высотой в покоящемся объеме воздуха. Выделим вертикальный столб воздуха с поперечным сечением 1 м² и направим ось z по вертикали вверх. Снизу данный столб ограничен плоскостью на высоте z, действующей на него с силой давления, по модулю равной р; сверху – плоскостью на высоте z + dz, действующей на него с силой давления по модуля равной p + p, причем знак р неизвестен. Равнодействующая сил давления, действующих в горизонтальном направлении со стороны данного столба и на него равна нулю. Сила тяжести, действующая на выделенный объем равна mg = gV = gSdz = gdz (S = 1).

Поскольку объем воздуха покоится, сила тяжести должна уравновешиваться силами давления. Сила тяжести и сила давления p + p направлены вниз, против направления z, поэтому берутся со знаком “-”. Сила давления р направлена вверх, ее следует взять со знаком “+”. Равенство нулю равнодействующей силы тяжести и сил давления записывается так:

- (p + p) + p - gdz = 0,

dp = -gdz.

Полученное соотношение называется основным уравнением статики атмосферы. Оно выражает условие равновесия между двумя силами, действующими на единицу массы воздуха по вертикали: вертикальным барическим градиентом и силой тяжести. Размерность обеих сил – Ньютон/кг. Уравнение статики атмосферы также записывается:

.

Величина -dp/dz есть падение давления на единицу прироста высоты. Она называется вертикальный барический градиент. Полученное уравнение статики описывает изменения давления лишь при очень малых приращениях высоты. Для определения распределения давления в слоях конечной толщины (плотность меняется) необходимо интегрирование. Интеграл основного уравнения статики атмосферы называется барометрической формулой.

Зная уравнение статики атмосферы, можно понять физический смысл атмосферного давления. Проинтегрируем уравнение статики от p_z на некоторой высоте z до p = 0 на высоте z_A, являющейся верхней границей атмосферы:

.

Очевидно, что - вес атмосферного столба воздуха от уровня z до верхней границы атмосферы. Следовательно, р_z = P_атм. Таким образом, атмосферное давление на любом уровне равно весу столба воздуха единичного поперечного сечения, простирающегося над данным уровнем.Поскольку плотность воздуха в метеорологии не измеряется, ее заменяют по уравнению состояния  = p(R_dT), в случае влажного воздуха T = T_v. Тогда уравнение статики выглядит так:

Возьмем определенные интегралы от обеих частей уравнения в пределах от р₁ до р₂ и от z₁ до z₂. Величины g и R_d будем считать константами:

,

.

Заменим температуру Т, изменяющуюся с высотой на среднюю температуру T_m и вынесем ее за знак интеграла. Получим

.

Потенциировав это выражение, получим интеграл основного уравнения статики атмосферы, называемый барометрической формулой:

.

С помощью барометрической формулы можно решать три задачи:

приведение давления одного уровня к другому (известны давление на одном уровне и перепад высот, средняя температура слоя, найти давление на другом уровне)

барометрическое нивелирование (известны давление на двух уровнях, средняя температура столба воздуха, найти перепад высот)

определение средней температуры слоя (известны давление на двух уровнях и перепад высот, найти среднюю температуру слоя).

Для барометрического нивелирования обычно используется формула Лапласа (получена для влажного воздуха с учетом изменения g с высотой и широтой), барометрическая формула реальной атмосферы и формула Бабине (для небольших перепадов высот). Барометрическая формула реальной атм-ры имеет вид:

,

где  = 1/273 – термический коэффициент объемного расширения, В = 18400 м – барометрическая постоянная.

Величина -dp/dz в уравнении статики атмосферы есть падение давления на единицу прироста высоты. Она называется вертикальный барический градиент.

Барическая ступень – приращение высоты, в пределах которого давление падает на единицу, т.е. барическая ступень – это величина –dz/dp. Барическая ступень – величина, обратная вертикальному барическому градиенту и, следовательно, прямо пропорциональна температуре воздуха и обратно пропорциональна давлению:

.

Таким образом, в теплом воздухе давление падает с высотой медленнее, чем в холодном. Поэтому теплые области в атмосфере являются в высоких слоях областями высокого давления, а холодные – областями низкого давления.