3. Словарное предствление мт.

МТ однозначно задаётся своей программой. Если упорядочить её команды произвольным образом и применить описанный ниже способ кодировки, с помощью которого последовательность команд представлена цепочкой в алфавите МТ, то мы получим её описание в собственном алфавите.

Пусть V – алфавит МТ, Q – множество её состояний, K(q) – порядковый номер соответствующий номеру состояния q.

Введём вспомогательный символ *, не входящий в алфавит V. Каждой команде вида: qa→q’a’d, сопоставим цепочку в алфавите W, который определяется . Сопоставленная цепочка будет иметь вид: *K(q)a*K(q’)a’d. Упорядоченной последовательности команд будет соответствовать последовательность цепочек в алфавите W, конкатенация этих цепочек определяет цепочку α_T. Последняя однозначно описывает машину Тьюринга T с точностью до переименованного состояния.

Следующий шаг заключается в переходе от представления в алфавите W в алфавит V.

Пусть алфавит V содержит n символов, упорядочим их произвольным образом. Алфавит W упорядочим так, чтобы символы из алфавита V имели те же номера, а дополнительные символы имели номера:

Закодировав согласно описанному ранее способу все цепочки из V^* (перенумеровав их) и все цепочки из W^*, мы можем, зная номер цепочки α_T, сопоставить ей цепочку β_T из множества V^* с тем же самым номером. Найденная цепочка будет словарным представлением МТ в её алфавите и по этой цепочке β_T можно однозначно восстановить машину Тьюринга с точностью до наименования её состояния.

4. Массовые алгоритмические проблемы. Разрешимые и перечислимые множества.

Необходимо указать алгоритм, который бы определял, обладает ли предъявляемый объект из некоторого класса объектов интересующим нас свойством. Другими словами, необходимо определить, принадлежит ли рассматриваемый объект множеству M всех объектов обладающих заданным свойством. Если существует такой частичный алгоритм, то говорят, что множество перечислимо, а поставленная массовая алгоритмическая проблема частично разрешима. Если же алгоритм всюду определён, то множество M разрешимо и поставленная проблема также разрешима.

Пусть V – алфавит, и множество M является подмножеством всех цепочек V^*. Функция F_M называется предикатом отображения: .

Частичная характеристическая функция множества M – это функция , которая определяется только для цепочек из множества M, т.е. , .

Множество M называется разрешимым, если его характеристическая функция F_M вычислима. Множество M называется перечислимым, если его частичная характеристическая функция вычислима. Разрешённое множество M означает, что существует всегда останавливающаяся МТ , позволяющая для любых цепочек из V^* через конечное число шагов узнать, принадлежит ли эта цепочка множеству M или нет. Перечислимость M означает, что существует МТ , которая останавливается только в том случае, когда поданная на вход цепочка принадлежит M.

5. Теорема Поста.

Теорема Поста:

Множество разрешимо тогда и только тогда, когда перечислимыми являются множество M и его дополнение .

Доказательство.

Необходимость:

Если множество M разрешимо, то характеристическая функция этого множества F_M вычислима, т.е. существует МТ , которая останавливается в обоих случаях. Частичная функция H_M реализации МТ из машины зацикливается в случае, когда цепочка не принадлежит M. МТ строится аналогично.

Достаточность:

Если M и перечислимы, то существуют МТ и , которые вычисляют частичные характеристические функции. Для построения МТ используем следующий алгоритм:

Последовательно выполняются команды, сначала , потом . Если останавливается МТ , то в качестве ответа выдаётся символ 1. Если не останавливается, то запускается , если она остановилась, то выдаётся в качестве ответа 0. Если она не остановилась, то процесс повторяется. За конечное число шагов функционирование построенной МТ завершится.