- •§2. Задача Коши. Теорема существования и единственности задачи Коши.
- •Задачей Коши для уравнения, разрешенного относительно производной, называется задача
- •Которая формулируется следующим образом:
- •§3. Обобщение понятия оду.
- •§4. Уравнение с разделяющимися переменными.Билет 2
- •Теорема 1.
- •Доказательство.
- •1 Этап (нахождение общего решения уравнения)
- •2 Этап (нахождение решения задачи Коши)
- •Определение 0.3.
- •Теорема 2.
- •Доказательство.
- •Замечание. Уравнение, сводящееся к однородному.
2 Этап (нахождение решения задачи Коши)
Поскольку все решения нашего уравнения могут быть записаны в виде (!), то и частное решение, которое удовлетворяет условию Коши , если оно существует, должно, при некотором значении константы иметь тот же вид (!). Чтобы найти подходящее значение , подставим в (!) условие Коши. Получим:
. (!!)
Тут важно заметить, что каково бы ни было начальное условие, т.е. , константа , удовлетворяющая (!!), всегда существует и притом определяется единственным образом. Поэтому существует и притом единственное решение исходной задачи Коши (3), и оно задается формулой
.
Замечание.
В уравнении (*) как в левой, так и в правой частях есть функции, зависящие от , и функции, зависящие от . В то же время при переходе к (**) мы добились, чтобы в левой части встречалась только переменная , а в правой – только . Этот процесс носит название разделения переменных.
Пример.
Решить уравнение с разделяющимися переменными . Для разделения переменных обе части уравнения разделим на . Чтобы не потерять решение, необходимо проверить, являются ли корни , решениями исходного уравнения. Для этого рассмотрим 3 случая:
1) , т.е. , подставляем в исходное уравнение и получаем решение.
2) , , т.е. , подставляем в исходное уравнение и получаем решение.
3) , тогда , или , где . Потенцируя уравнение, получаем: , , где .
Запишем: , , , . Т.к. решение получается из решения при , то допустив, что может принимать значение, равное нулю, получаем окончательно: , , где - любое.
3 билет
Функция называется однородной функцией степени , если справедливо .
Определение 0.2.
Однородным уравнением называется уравнение вида , где , - однородные функции одной и той же степени.
Определение 0.3.
Однородным уравнением называется ОДУ 1-ого порядка , правая часть которого является однородной функцией нулевой степени, т.е. .
Последнее равенство означает, что если точка принадлежит области определения функции , то этой же области принадлежит и открытый луч, проходящий через начальную точку и данную точку : .
Полагая , запишем .
В результате приходим ещё к одному определению однородного уравнения.
Определение 8.
Однородным уравнением называется уравнение вида
Теорема 2.
Если , ,
то для любых решение задачи Коши
(6)
Доказательство.
Введём новую неизвестную функцию тогда , , , , при этом . Задача Коши (6) сводится к следующей задаче . Получили задачу Коши для ОДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными. Согласно теореме (§3 настоящей главы) эта задача имеет решение и притом единственное
Пример.
Решить задачу Коши .
Уравнение является однородным. Вводим новую неизвестную функцию , , , отсюда , , , где . , отсюда . Решаем задачу Коши: т.к. , то , ,т.е. .