3) Теорема о движении центра масс системы материальных точек
В
любой системе частиц имеется одна
замечательная точка, называемая центром
масс, которая обладает рядом интересных
и важных свойств. Ее положение относительно
начала данной системы координат
характеризуется радиус-вектором
,
определяемым как
|
|
(2.10) |
,
где
–
масса и радиус-вектор
-й
частицы,
–
масса всей системы,
–
полное число частиц в системе. Если
взять производную по времени от обеих
частей уравнения и умножить обе части
на
,
то получится:
или
,
где
–
скорость движения центра масс системы.
Таким образом, импульс системы материальных
точек равен произведению массы системы
на скорость ее центра масс:
.
Подставив это выражение в (2.9), получим:
|
|
(2.11) |
.Отсюда следует, что центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на все точки системы. Этот результат называется теоремой о движении центра масс системы материальных точек. Уравнение (2.11) по форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки и является его обобщением на систему материальных точек: ускорение системы как целого прямо пропорционально результирующей всех внешних сил и обратно пропорционально суммарной массе системы.
Если
система замкнута, то
и
уравнение (2.11) переходит в
,
следовательно,
.
Таким образом, центр масс замкнутой
системы движется прямолинейно и
равномерно или покоится.
2) Центр масс
Текущая версия (не проверялась)
Центр масс (англ. center-of-mass; центр ине́рции, барице́нтр) в механике — это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.
Положение центра масс (центра инерции) в классической механике определяется следующим образом:
где
—
радиус-вектор
центра масс,
—
радиус-вектор i-й точки системы,
mi — масса i-й точки.
Для случая непрерывного распределения масс:
где
M — суммарная масса системы,
V — объём.
Центр масс, таким образом, характерезует распределение массы по телу или системе частиц.
Понятие центра масс широко используется в физике.
Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию поступательного движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.
Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.