28.Общее решение линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами, порядок которых выше второго. Привести примеры.

Линейные рекуррентные уравнения, порядок которых больше двух, решаются таким же способом, как и линейные рекуррентные ур-я порядок которых ниже. Пусть ур-е имеет вид

F(n + k) = a_k-1F(n + k -1) + a_k-2F(n + k - 2) +... + a₀F(n) = 0 (12)

Составим характеристическое уравнение

r^k = ak-1r^k-1 + ak-₂ r^k-2 +... + a0.

Если все корни r₁,...,r_k этого алгебраического уравнения k -й степени различны, то общее решение уравнения (12) имеет вид

Если же, например, r₁ = r₂ = ... = r_m, то этому корню соответствуют решения

рекуррентного уравнения (12). В общем решении этому корню соответствует часть:

Составляя такие выражения для всех корней и складывая их, получаем

общее решение уравнения(12)

где m_i - кратность корня r_i, s - число различных корней, P_i (n) - полином степени m_i -1 относительно n .

Пример. Рассмотрим уравнение

F (n + 2) = 2F (n +1) - F (n), F (0) = 2, F (1) = 4

Составим характеристическое уравнение

Общее решение рекуррентного уравнения имеет вид:

Решая систему, получаем, что С₁ = 2 и С₂ = 2. Таким образом, решение рекуррентного уравнения имеет вид

F (n) = 2 + 2n .

29. Решение рекуррентных соотношений, используя производящую функцию. Понятие производящей функции. Алгоритм решения рекуррентных соотношений с помощью производящих функций.

Производя́щая фу́нкция последовательности {a_n} — это формальный степенной ряд

.

Зачастую производящая функция последовательности чисел является рядом Тейлора некоторой аналитической функции, что может использоваться для изучения свойств самой последовательности. Однако, в общем случае производящая функция не обязана быть аналитической. Например, оба ряда

и

имеют радиус сходимости ноль, то есть расходятся во всех точках, кроме нуля, а в нуле оба равны 1, то есть как функции они совпадают; тем не менее, как формальные ряды они различаются.

Производящие функции дают возможность просто описывать многие сложные последовательности в комбинаторике, а иногда помогают найти для них явные формулы.

Метод производящих функций был разработан Эйлером в 1750-х годах.

Алгоритм

Алгоритм получения замкнутого выражения для чисел a_n, удовлетворяющих рекуррентному соотношению, с помощью производящих функций состоит из 4 шагов.

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен k):

2. Домножить каждую строчку на z в соответствующей степени и просуммировать строчки для всех n≥0.

3. В полученном уравнении привести все суммы ∑ к замкнутому виду. Получить уравнение для производящей функции.

4. Выразить G(z) в явном виде (решить уравнение, полученное на предыдущем шаге) и разложить производящую функцию в ряд по степеням z

30. Общая схема решения рекуррентного соотношения с помощь производящих функций на примере решения рекуррентного соотношения , , , .

Производящие функции наиболее часто применяются при решении рекуррентных соотношений. Рекуррентные соотношения, в свою очередь, часто возникают в дискретной математике и комбинаторике, поэтому метод производящих функций для решения рекуррентных соотношений изучают именно в рамках этих дисциплин. Самые простейшие примеры решения рекуррентных соотношений приводятся в этой лекции. Более сложные примеры — в последующих лекция.