6). Теорема о существовании корня непрерывной функции.

Е сли функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует по крайней мере один корень уравнения.

7). 1-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

8). 2-ая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

9). Теорема Кантора.

13). Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Теор. Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке[a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка  , что

.

Док-во: Введем функцию  . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:

что и требовалось доказать.

10). Теорема о производной композиции функций.

11). Теорема о производной обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у₀ имеет производную g'(v₀), отличную от нуля, то в соответствующей точке x₀=g(x₀) функция y=f(x) имеет производную f '(x₀), равную  , т.е. справедлива формула .

Док-во:Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y₀, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x)непрерывна в точке x₀=g(y₀). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что  .

Пусть  . Тогда по свойству предела  . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е.  .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

12)Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции (теорема Ферма).

Теорема (Ферма): Если функция f во внутренней точке x0∈Д  имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0.

Доказательство: Предположим для определенности, что x0 - точка локального максимума, то есть для всех точек x из некоторой окрестности будет справедливо .

Тогда

,

в то время как

.

Поскольку f(x) дифференцируема в x0, то левая и правая производные в этой точке совпадают между собой и значением производной:

,

а это возможно только в случае .

14)Правило Лопиталя.

Теорема:

Условия: 1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в проколотой окрестности a;

3.  в проколотой окрестности a;

4.существует  ,

тогда существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида (0/0).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку [a,x] теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому  .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

.

З афиксируем t из отрезка   и применим теорему Коши ко всем x из отрезка [a,t]:

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α:

.

П олучили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и  . По любому данному ε можно найти такое ε₁, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда 

15)Теорема о представлении функции локальной формулой Тейлора.

 Если функция f(x) (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x0-a,x0+a) точки x0 и существует f(n)(x0), то имеет место равенство

.

Док-во: Для краткости будем обозначать R(x)=Rn(x)

 (10)

 (11)

…

 

 (1m)

…

 (1n-1)

f(n-1)(x) дифференцируема в точке x0, поэтому

откуда

По правилу Лопиталя

16). Достаточное условие экстремума в терминах 1-ой производной.

17). Условие выпуклости функции через 2-ую производную.

18). Теорема о существовании наклонных асимптот.

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

1. Множества и операции над ними.

2. Аксиоматика множества действительных чисел.

3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.

4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.

5. Общие свойства пределов последовательностей.

6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

7. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

8. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

9. Предельный переход в арифметических операциях для последовательностей.

10. Неопределенные выражения.

11. Теорема о пределе монотонной последовательности.

12. Число е.

13. Нахождение некоторых стандартных пределов.

14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О – символика.