Вопрос 5

Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x0 (или x → x0), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х0 | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.

В этом случае пишут lim f(x)=∞, при х-> x0

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х0 , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х0.

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x, для которых |x – a|<δ, выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a, то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ, так |f(x)|>1/ ε. Но тогда для тех же x.

Примеры.

Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .

.

.

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство: Пусть a(x) - бесконечно малая функция при x->x0, т.е. . Тогда для любого числа E>0 существует такое число δ>0 , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство , т.е. , т.е. , где . А из этого следует, что функция - бесконечно большая.

Вопрос 6

Произведение ограниченной функции на б.м. есть функция б.м.

Пусть функция f(х) ограничена при х->х0. Тогда существует такое число М>0, что |f(x)|<= М для всех х из δ1 – окрестности точки х0. И пусть а(х) – б.м.ф. при х->х0. Тогда для любого E>0, а значит, и E/M>0 найдется такое число δ2>0, что при всех , удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<δ2, выполняется неравенство |a(x)|<E/M. Обозначим через δ наименьшее из δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<δ, выполняются оба неравенства. Следовательно, |f(x)*a(x)|=|f(x)|*|a(x)|< E/M*M=E. А это означает, что произведение f(x)*a(x) при х->х0 есть б.м.ф

Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющий отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть lim a(x)=0(x->x0), а lim f(x)=a=!0(x->x0). Функция а(х)/f(x) может быть представлена в виде произведения б.м.ф.а(х) на ограниченную функцию 1/f(x). Но тогда из предыдущей теоремы следует, что частное a(x)/f(x)=a(x)* (1/f(x)) есть функция б.м.

Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

Пусть lim f(x)=A(x->x0), lim£(x)=B(x->x0). Тогда по теореме о связи функции, её предела и б.м.ф.(Если функция имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф.) можно записать f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x). Следовательно f(x)+£(x)=A+B+(α(x)+β(x)). Здесь α(x)+β(x) – б.м.ф. как сумма б.м.ф. . По 2-й теореме о связи функции, её предела и б.м.ф.(обратная 1-й) можно записать lim(f(x)+£(x))=A+B, т.е. lim(f(x)+£(x))=lim f(x)+lim £(x) (везде x->x0)

Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

Так как lim f(x)=A и lim £(x)=B, то f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x), где α(x) и β(x) – б.м.ф. Следовательно, f(x)*£(x)=(A+α(x))*(B+β(x)), т.е. f(x)*£(x)= AB+(A*β(x)+B*α(x)+ α(x)*β(x)). Выражение в скобках есть б.м.ф. . Поэтому lim (f(x)*£(x))=lim f(x)*lim£(x). (Везде x->x0)

Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Из равенств lim f(x)=A и lim £(x)=B=!0 следуют соотношения f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x). Тогда f(x)/£(x)=(A+α(x))/(B+β(x))=A/B+((A+α(x))/(B+β(x)) – A/B)=A/B+ (B*α(x)-A*β(x))/(B^2+B*β(x)). Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на отличный от нуля предел, поэтому lim(f(x)/£(x)=A/B=lim f(x)/lim £(x). (везде x->x0)