Вопрос 2

Понятие предела ф-ции. Пределы справа и слева . связь между этими понятиями. Геометрический смысл. Примеры. Единственность предела.

1)Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности   такой, что   сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу A.

2)Число A₁ называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

Число A₂ называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех   выполняется неравенство   

3) Предел слева обозначается   предел справа –   Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называютодносторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль:   и 

Аналогично, геометрический смысл предела слева ясен из рисунка. Отличие от предыдущего случая состоит в том, что значения аргумента берутся из  - окрестности х0 только слева от этой точки L.

Единственность предела!

Это теоремма. Если функция или последовательность имеет предел, то он единственнен. Доказывается так. Возьмем два числа А1 и А2 и пусть они оба пределы последовательности x(n). Тогда для всех n начиная с некоторого N для произвольно взятого числа эпсилон выполняются неравенства модуль(x(n) - A1) <= эпсилон и модуль(x(n) - A2) <= эпсилон. Раскрывая эти неравенства, получаем A1 - эпсилон <= x(n) <= А1+ эпсилон и A2 - эпсилон <= x(n) <= А2+ эпсилон. Если А1 и А2 различны, то может быть, например А1 < А2. Тогда можно подобрать такое эпслон, что будет выполняться только одно из неравенств, а другое выполняться не будет. А должны выполняться оба неравенства сразу при любом эпсилон.

Вопрос 3.

3.1Функция называется бесконечно малой при х->+∞, если lim f(x)=0 при x->+∞.

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Будем считать, что х->+∞. Пусть a(x) и b(x) являются б.м. при х->+∞. Тогда в соответствии с определением бесконечно малой, для всякого E>0, а значит и для E/2>0, найдется такое, что при любом х>х0 будут выполняться неравенства |a(x)|<e/2 и |b(x)|<e/2. Их этого получаем

|a(x)|+|b(x)|<=e/2+e/2=e. \то значит, что |a(x)| +|b(x)|->0 при х->+∞.

2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая. b(x) и f(x) заданы на [a;∞]. f(x) ограничена, т.е. |f(x)|<M, M>0. b(x)->0 при х->+∞. В силу определения б.м. для всякого Е>0, а значит и для E/M>0, выполняется неравенство |b(x)|<E/M.

Значит при тех же значениях x окажется |b(x)f(x)|<E/M*M=E, что означает |b(x)f(x)|->0 при x->+∞.

Понятие ограниченной функции .пример.теорема о связи между ограни

ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ Пусть задана функция y=f(x), определенная на некотором множестве D значений аргумента. Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D, если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M. Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D. Примеры. Функция y=sin x, определенная при -∞<x<+∞,>0, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>N, функция f(x) ограничена.

Ограниченная функция - это функция, область значений которой целиком заключена в некотором конечном интервале. Например, функция y=arctag x.

Теорема 1. Если  и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Т.к.  , то при любом ε>0 найдется такое число δ>0, что при вех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x-a|<δ, выполняется неравенство |f(x) –b|<ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|, последнее неравенство запишем в виде |f(x)|<|b|+ ε. Таким образом, если положить M=|b|+ ε, то при x→a |f(x)|<M.

Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если  , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.

Теорема 2. Если  , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что при произвольном ε>0 в некоторой окрестности точки a имеем |f(x) – b|<ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|, то |b| - |f(x)|< ε. Следовательно, |f(x)|>|b| - ε >0. Поэтому и  .