5.Действия над матрицами : сложение и умножение матриц.

Сложение вводится только для матриц одинаковой размерности. Сумма матриц A=||a_ij|| и B||b_ij||называется такая матрица C=||c_ij||, что c_ij=a_ij+b_ij. Умножение матрицы на число: каждый элемент матрицы надо умножить на это число. Умножение матрицы на матрицу: операция вводится только тогда когда число столбцов первой матрицы = числу строк второй матрицы. Произведение матриц A_mxn=||a_ij|| на B_mxp||b_ij||называется такая матрица C=||c_ij||, что c_mxp=a_i1*b_1k+a_i3*b_2k+…+a_in*b_nk. То есть елемент i-строки и k-столбца матрицы С это сумма произведений элементов i-строки матрицы A на елементы k-столбца матрицы B. Произведение матрицы A на B не равно произведению матрицы B на A.

6. Обратная матрица. Решение систем матричным способом.

Обратная матрица: Матрица А^-1 называется обратной для матрицы A если, если А^-1*А=А*А^-1 =E. Обратная матрица есть только для квадратных матриц. Матрица называется вырожденной если ее определитель не равен нулю, в противном случае – вырожденной. Теорема: Матрица А имеет обратную, если A-невырожденная. Алгоритм нахождения обратной матрицы: 1)Вычисляем определитель A , если он =0, то обратной матрицы нет. 2)Для каждого элемента матрицы находим алгебраическое дополнение. Формируем матрицу из алгебраических дополнений. 3)Формируем присоединенную матрицу A*=||A_ij||^T . 4)A^-1=(A*)/|A|

Решение СЛАУ Матричным способом: Пусть в СЛАУ n-уравнений и n-неизвестных, то есть A-квадратная.

Запишем слау в матричной форме: A*X=B. Домножим на A^-1 слева (будем считать, что |A|не=0)

A^-1*(A*X)= A^-1*B . (A^-1*A)*X= A^-1*B , где (A^-1*A)=E . E*X= A^-1*B. X= A^-1*B.

7.Ранг Матрицы, методы нахождения ранга.

Ранг – это наивысший пордок миноров, отличных от нуля .Свойства: 1) при транспонировании ранг не меняется. 2)Если из матрицы вычеркнуть нулевую строчку то ранг не изменится. 3)При элементарных преобразованиях ранг не меняется. Методы нахождения ранга: 1) С помощью элементарных преобразований: приводит матрицу к каноническому виду (на диагонали, идущей из левого верхнего угла делают единицы, все остальные нули) Ранг матрицы будет равен числу единиц на этой диагонали. 2)Метод окаймляющих миноров: пусть найден минор M_k не =0. Формируем минор (k+1)го порядка добавлением еще одной строки и столбца, так чтобы данная строка и столбец составляли кайму исходного минора. Если данный минор равен нулю, то доьавляем строчку или столбец (окаймляя) Если все миноры (k+1)го порядка равны нулю,то ранг равен K, если хотя бы один не равный нулю – то начинаем алгоритм заново.

8.Слау. Формулы Крамера.

СЛАУ – это система линейных алгебраических уравнений вида:

{a₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n=b₁

{…

{a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=b_m

Содержит m уравнений и n неизвестных. A_ij-коэффициенты системы. B_i-свободные члены. Наиболее компактно записывать СЛАУ в матричной форме.

A=( a₁₁ a₁₂ … a_1n) x=(x1) B=(b1)

( . . . . . . ) (x2) (b2)

(a_m1 a_m2…a_mn) (x3) (b3)

Матрица А из коэффициентов системы называется основной матрицей. Матрица B называется столбцом свободных членов. Матрица X – вектор столбец неизвестных. Матрица A, Дополненная столбцом свободных членов называется расширенной и обозначатся буквой T. Решение СЛАУ – это такая совокупность значений x1, x2, x3 которая при подстановке в СЛАУ обращает её в верное тождество. Метод Крамера: Алгоритм: 1) Находим определитель основной матрицы: (Δ не=0) 2)Для нахождения неизвестной x1 формируем определитель Δx1, полученный из Δ путем замены 1го столбца (коэффициенты перед x1) на столбец свободных членов. 3) Для нахождения неизвестной x2 формируем Δx2, полученный из Δ путем замены 2го столбца на столбец свободных членов.