2.9. Обработка результатов измерения при наличии случайной и систематической погрешностей
Систематическая погрешность, остающаяся после введения поправок, включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых неисключенными остатками систематической погрешности. К их числу относятся погрешности определения поправок, погрешности, зависящие от точности измерения влияющих величин, входящих в формулу для определения поправок и т.д.
Для
каждого данного измерения элементарная
составляющая систематической погрешности
имеет вполне определенное значение, но
эти значения определять с бесконечной
точностью мы не можем. Поэтому
предполагается, что при однотипных
измерениях эти составляющие находятся
в определенных границах
и имеют некое среднеквадратичное
отклонение. При вычислениях в соответствии
с ГОСТом границы неисключенной
систематической погрешности при ее
равномерном распределении определяются
по следующей формуле
,
где
- граница j-ой
неисключенной систематической
погрешности,
- коэффициент, определяемый принятой
доверительной вероятностью,
- количество погрешностей. Для
и
.
При
определяется по графику, который
приводится в ГОСТ 8.207-76.
Суммарную границу погрешности результата измерения определяют следующим образом:
1)если
выполняется соотношение
,
то систематической погрешностью по
сравнению со случайной пренебрегают.
В этом случае результат записывают
следующим образом
,
.
.
2)если
,
то случайной погрешностью пренебрегают.
Результат имеет вид
, .
.
3)если
выполняется неравенство
,
то при определении погрешности результата
учитываются все погрешности. Результат
имеет вид
, .
.
2.10. Косвенные измерения. Коэффициент корреляции
При косвенных измерениях значение искомой величины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, подвергаемыми прямым измерениям.
Пусть
величина
определяется через две величины
следующим образом
;
,
где
,
,
- оценки истинного значения (среднее
арифметическое результатов измерения),
,
,
- случайные погрешности средних.
В этом случае
,
.
Дисперсия
Математическое
ожидание
- корреляционный момент. Обычно при
определении погрешности косвенных
измерений вместо него пользуют
безразмерную величину – коэффициент
корреляции
,
.
При “+”коэффициенте корреляции одна из погрешностей возрастает с возрастанием другой. При “-”коэффициенте корреляции одна из погрешностей убывает с возрастанием другой. Если коэффициент корреляции равен нулю, то в этом случае погрешности измерения одной величины не связаны (не коррелируют) с погрешностями измерения другой величины.
Во время проведения эксперимента при подозрении, что в измерениях есть корреляционная зависимость, необходимо установить, чем обусловлено отличие построенной диаграммы от окружности: тем, что в измерениях есть корреляционная зависимость, или же тем, что данная выборка измерена недостаточно, т.е. обусловлена случайным фактором.
,
,
,
.
Необходимо
установить границы доверительной
вероятности определения коэффициента
корреляции. При
для дисперсии распределения коэффициента
корреляции применяется следующая
формула
.
Корреляционная зависимость считается установленной, если выполняется условие
.
Наименьшая величина, для которой связь считается установленной, в зависимости от количества измерений определяется по формуле
.
Например
,
.
Распределение результатов косвенных измерений будет нормальным, если распределение результатов прямых измерений подчиняется закону распределения Гаусса. При малом количестве измерений используют таблицу распределения Стьюдента.
Результат косвенных измерений записывают следующим образом
,
.
При использовании таблицы распределения Стьюдента коэффициент (степень свободы):
,
.