Достатність

Нехай функція має в точці а границю за Гейне. Припустимо, що в цій точці границя за Коші не існує.

Тобто , це означає що

Розглянемо послідовність Тоді для кожного числа цієї послідовності

Перейдемо у нерівності (3) до границі при , оскільки за теоремою про границю проміжної послідовності , но з нерівності (4) випливає, що послідовність не прямує до А, тобто ми побудували послідовність, що прямує а для якої послідовність відповідних значень функції не прямує до А, це означає, що функція в точці а не має границі за Гейне, що суперечить умові теореми.

Одержана суперечність доводить

достатність.

14.Односторонні границі функції

Означення 1

Число , називають границею функції в точці х=а справа, якщо ця функція визначена у правому - околі точки а.

Для будь-якого завгодно малого

Позначають це так або

Означення 2

Число , називають границею функції в точц х=а зліва, якщо ця функція визначена у лівому - околі точки а, крім можливо самої точки.

Для будь-якого завгодно малого

Запис ,означає, що набуває значень більше від а

Запис ,означає, що набуває значень меньших від а

Якщо а=0, то у цьому випадку односторонні границі ліва і права відповідно позначають

Теорема

Для того щоб функція в очці а мала границю А, необхідно і достатньо, щоб в цій точці існували односторонні границі кожна з яких дорівнювала А.

Доведення

Необхідність

Нехай в точці а функція має границю А , за означенням границі для будь-якого завгодно малого , існує

Нерівність (1) еквівалентна сукупності нерівностей

Достатність

Нехай , тоді за означенням

Тоді, а це означає

Теорема доведена

15.Арефметичні операції над границями функцій

Теорема 1(про границю суми)

Якщо , , де А, В – скінченні числа, то

Доведення

Нехай послідовність

За означенням границі функції за Гейне.

, , тоді за теоремою (про границю суми послідовностей), границя суми дорівнює сумі границь, тобто

Ця рівність доведена для будь-якої послідовності , де

Теорема 2 (про границю добутку):

Якщо , , де А, В – скінченні числа, то

Доведення

Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне ,

За теоремою (про границю добутку послідовностей) границя добутку дорівнює добутку границь

Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то

Теорема 3(про границю частки)

Якщо , , де А, В – скінченні числа причому то

Доведення

Розглянемо послідовність , тоді за означенням границі функції за Гейне, , , причому

За теоремою (про границю частки послідовностей) границя частки дорівнює частці границь

Оскільки ця рівність доведена для будь-якої послідовності , то

16.Властивість функції, що мають границю

Теорема 1(про єдність границі функції)

Якщо функція має в точці х=а границю, то ця границя єдина

Доведення

Припустимо супротивне , , причому

Розглянемо будь-яку послідовність

Тоді за означенням функції за Гейне одержимо, що послідовність повинна мати дві різні границі А і В але за теоремою про єдність границі послідовності це не можливо. Одержана суперечність доводить теорему.

Теорема 2 (про обмеженістьфункції, що має границю)

Якщо функція має скінченну границю в точці а, то ця функція буде обмеженою у де-якому виколотому околі а.

Доведення

Нехай , за означенням границі функції

Тоді

Отримаємо

Позначимо через , тоді

Теорема доведена.