matphy_mech_04
.pdf
|
|
Задания к модульной работе №1 |
|
|
|
по предмету |
|
|
Уравнения математической физики\ |
|
|
|
" |
для специальности Механика\ |
|
|
|
" |
|
|
|
(2–й курс, второй семестр) |
|
|
|
12 мая 2014 г. |
|
|
|
Содержание |
|
Введение |
|
2 |
|
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга |
3 |
||
1.1. |
Решение внутренней задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
1.2. |
Решение внешней задачи задачи Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
1.3. |
Проверочные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
|
1
2
Введение
Модуль №4 по предмету "Уравнения математической физики\ для специальности "Механика\ включает:
1)решение двух задач (самостоятельная работа, 2 £ 5 = 10 баллов);
2)решение задач (письменно, в аудитории, после сдачи для проверки хотя бы одной задачи для самостоятельной работы; 5 баллов);
3)теоретическую часть (устно, в аудитории, после набора не менее 3 баллов за решение задач в аудитории; 10 баллов).
Общее количество баллов за модуль №4 равно 25.
Индивидуальные варианты задач распределены в соответствии с табл. 0.1.
Табл. 0.1. Распределение вариантов задания
группа |
варианты |
|
|
МХ–12–01 |
01–17 |
|
|
МХ–12–02 |
18–28 |
|
|
Сдача задания для проверки 2014.05.22, проведение модуля 2014.05.26 2014.05.30.
3
1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга
1.1. Решение внутренней задачи Дирихле |
|
|
|
|
|
|
Решить внутреннюю задачу Дирихле |
|
|
|
|
|
|
8 |
¢u(x; y) = 0 ; |
(x; y) |
2 D ; |
|
(1.1) |
|
< |
u(x; y) = g(x; y) ; |
(x; y) |
2 S |
= @ |
D |
; |
: |
|
|
|
|
||
с четырьмя наборами краевого условия, согласно табл. 1.1, 1.2. Решение представить в полярной и декартовой системах координат. Обосновать решение, показав, что оно: 1) удовлетворяет уравнению Лапласа в декартовой и полярной системе координат; 2) удовлетворяет краевому условию в декартовой системе координат.
1.2. Решение внешней задачи задачи Дирихле |
|
|
|
|
||
Решить внешнюю задачу Дирихле |
|
|
|
|
|
|
8 |
¢u(x; y) = 0 ; |
(x; y) 2 R2nD ; |
(1.2) |
|||
< |
u(x; y) = g(x; y) ; |
(x; y) |
2 S |
= @ |
D |
; |
: |
|
|
|
|
||
с четырьмя наборами краевого условия, согласно табл. 1.1, 1.2. Решение представить в полярной системе координат. Обосновать решение, показав, что оно удовлетворяет уравнению Лапласа в полярной системе координат.
1.3.Проверочные вопросы
1.Постановка внутренней задачи Дирихле для круга в декартовой системе координат.
2.Постановка внутренней задачи Дирихле для круга в полярной системе координат.
3.Вывод уравнения Лапласа в полярной системе координат.
4.Условия периодичности и ограниченности решения внутренней задачи Дирихле для круга.
5.Решение внутренней задачи Дирихле для круга методом разделения переменных.
6.Задача Штурма – Лиувилля.
7.Проверка выполнения краевого условия решением внутренней задачи Дирихле для круга.
8.Постановка внешней задачи Дирихле для круга в декартовой системе координат.
9.Постановка внешней задачи Дирихле для круга в полярной системе координат.
10.Решение внешней задачи Дирихле для круга методом разделения переменных.
11.Решение внешней задачи Дирихле для круга методом инверсии Кельвина.
4
Табл. 1.1. Распределение вариантов задания 01–17
№ |
g1(x; y) |
g2(x; y) |
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
01 |
1 + x + xy |
x + y3 |
x2 |
+ y2 |
+ x + 3y ¡ |
3 |
= 0 |
||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|||||||||||
02 |
1 + y + xy |
y + x3 |
x2 |
+ y2 |
+ x + 5y ¡ |
5 |
= 0 |
||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|||||||||||
03 |
1 + x + y2 |
x2 + y3 |
x2 |
+ y2 |
+ 3x ¡ 2y ¡ |
3 |
= 0 |
||||
|
|
||||||||||
4 |
|||||||||||
04 |
1 + y + x2 |
y2 + x3 |
x2 |
+ y2 |
¡ 3x ¡ 3y + |
1 |
= 0 |
||||
|
|
||||||||||
2 |
|||||||||||
05 |
1 + x2 + xy |
xy + y3 |
x2 + y2 + 3x + 4y + |
9 |
|
= 0 |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||
06 |
1 + y2 + xy |
xy + x3 |
x2 |
+ y2 |
¡ 4x + y + |
1 |
= 0 |
||||
|
|
||||||||||
4 |
|||||||||||
07 |
x + x2 + xy |
x3 + y3 |
x2 |
+ y2 |
+ 5x ¡ 3y + |
|
9 |
|
= 0 |
||
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||
08 |
y + y2 + xy |
xy2 + y3 |
x2 + y2 ¡ x ¡ 2y ¡ 1 = 0 |
||||||||
09 |
x + y2 + xy |
x2y + y3 |
x2 + y2 + x + 6y + 7 = 0 |
||||||||
10 |
y + x2 + xy |
xy2 + x3 |
x2 + y2 ¡ 2x + 3y + 1 = 0 |
||||||||
11 |
x + x2 + y2 |
x2y + x3 |
x2 + y2 + 2x ¡ 5y + 5 = 0 |
||||||||
12 |
y + x2 + y2 |
xy2 + x2 |
x2 + y2 ¡ 3x ¡ 4y + 4 = 0 |
||||||||
13 |
x2 + y2 + xy |
xy2 + y2 |
x2 + y2 + 4x + y + 2 = 0 |
||||||||
14 |
1 + x2 + y2 |
x2y + x2 |
x2 + y2 ¡ 5x + 4y + 8 = 0 |
||||||||
15 |
1 + y + y2 |
1 + xy2 |
x2 + y2 ¡ 4x + 5y + 10 = 0 |
||||||||
16 |
x + x2 |
x2y + xy |
x2 + y2 + 5x ¡ 2y + 7 = 0 |
||||||||
17 |
y + y2 |
xy2 + xy |
x2 + y2 ¡ x ¡ 6y + 9 = 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Табл. 1.2. Распределение вариантов задания 18–28
№ |
g1(x; y) |
g2(x; y) |
|
|
S |
|
|
|
|
|||
|
|
x2y + y2 |
x2 |
+ y2 |
1 |
|
|
|
||||
18 |
1 + xy |
+ x ¡ 6y + |
|
|
|
= 0 |
||||||
4 |
||||||||||||
19 |
x + xy |
xy2 + x |
x2 |
+ y2 |
¡ 2x ¡ 5y ¡ |
7 |
= 0 |
|||||
|
|
|||||||||||
4 |
||||||||||||
20 |
y + xy |
xy2 + y |
x2 + y2 + 3x + 6y + |
9 |
= 0 |
|||||||
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21 |
x2 + xy |
x2y + x |
x2 |
+ y2 |
¡ 4x + 5y + |
5 |
= 0 |
|||||
|
|
|||||||||||
4 |
||||||||||||
|
y2 + xy |
x2y + y |
x2 |
+ y2 |
5 |
|
|
|||||
22 |
+ 5x ¡ y ¡ |
|
= 0 |
|||||||||
2 |
||||||||||||
23 |
x + y2 |
x + x3 |
x2 |
+ y2 |
¡ 5x ¡ 3y ¡ |
1 |
= 0 |
|||||
|
|
|||||||||||
2 |
||||||||||||
24 |
y + x2 |
x2 + x3 |
x2 + y2 + 5x + 5y + |
7 |
= 0 |
|||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
25 |
x + y + x2 |
y + y3 |
x2 + y2 ¡ x + 2y + 1 = 0 |
|||||||||
26 |
x + y + y2 |
y2 + y3 |
x2 + y2 + x ¡ 4y + 4 = 0 |
|||||||||
27 |
x + y + xy |
1 + x3 |
x2 + y2 ¡ 2x ¡ 3y + 3 = 0 |
|||||||||
28 |
1 + x + x2 |
1 + y3 |
x2 + y2 + 3x + 4y + 6 = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|