33.Похідні суми, добутку і частки

Теорема 1(похідна від суми та різниці)

Якщо функції , диференційовани в точці x, то сума (різниця) цих функцій також диференційована в точці х і справедлива формула:

Доведення:

За означенням похідної і теоремою про границю суми функцій маємо:

Теорема 2(похідна від добутку)

Якщо функції , диференційовані в точці х, то добуток цих функцій також диференційовані в точці х і справедлива формула:

Доведення:

За означенням похідної і теоремами про границю добутку і суми функцій маємо:

=

Оскільки функція v диференційована в точці х, то вона буде неперервною в цій точці, тому за означенням неперервності .

Теорема 2(похідна від частки)

Якщо функції , диференційовані в точці х і , то частка цих функцій також лиференційована в точці х і справедлива формула:

Доведення:

За означенням похідної і теоремами про границю суми, добутку і частки функцій маємо:

Оскільки функція v диференційована в точці х, то вона буде неперервною в цій точці, тому за означенням неперервності .