26.Одностороння неперервність функцій в точці. Неперервність функцій на проміжку. Точки розрива функції

За озн.1 функція f(x) неперервна в точці а, якщо , але за теоремою для існування необхідно і достатньо щоб в т. х=а існування рівні односторонні границі. Тому можна дати четверте рівносильне означення неперервності ф-ції в точці. Озн. - функція - неперервна в точці а якщо:1) визначена в т. а і в деякому околі цієї точки.2)В точці а існують скінченні односторонні границі , .3) Вони дорівнюють значенню ф-ції в точці а, якщо тільки в означенні ф-ція називається неперервною з ліва в т.а.

Якщо тільки ф-ція називається неперервною з права в т.а.

Озн. Функція - неперервна на інтервалі (а,в) якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Озн. Функція неперервна на відрізку якщо вона неперервна на інтервалі (а,в) і неперервна т . а справа і в т. В зліва

Озн. Якщо не виконується хочаб одне з трьох умов означення , то ф-ція називається розривною в т.а,

А саму точку а наз-ть точкою розрива ф-ції.

Озн.Розрив 1-го роду: Якщо існують скінченні односторонні границі і . Всі інші випадки розрива ф-ції називають розривом 2-го роду.

Озн. Якщо ф-ція має в точці а розрив першого роду, то різниця називають стрибком ф-ції в т. а.

Озн.Розрив першого роду в т-ці а називають усувним якщо стрибок ф-ції в цій точці=0.

Зауваження у випадку усувного розриву ф-ції, ф-цію можна до визначити певним чином, щоб була неперервною в т. розриву.

Схема означень.

27.Дії над неперервними функціями. Неперервність складної функції.

Теорема1. (Про операції над неперервними ф-ми)

Якщо ф-ції і мають границі що дорівнюють і , то за теремами про операції над границями функцій вказані в теоремі ф-ції мають границі, які відповідно дорівнюють , ,

але ці величини дорівнюють Значенням відповідних. Т.ч. всі наведені у теоремі ф-ції неперервні в т.а за першим за першим означенням неперервності.

ТЕОРЕМА2.(неперервність складної ф-ції)

Якщо ф-ція неперервна в т.х=а, а ф-ція неперервна в т. , то складна ф-ція неперервна в т. х=а.

Доведення: за означенням

Оскільки функція неперервна в т. х=а, то для вже вказаного

Порівнюючи наведені означення неперервності(нерівності) бачимо що

це означає, що тобто складна ф-ція, неперервна в т.х=а.

28.Властивості ф-цій неперервних на відрізку.

Неперервні на відрізку ф-ції мають ряд важливих властивостей. Розглянемо деякі з них без доведення.

ТЕОРЕМА1(про знак ф-ції)

Нехай неперервна на і , , тоді існує такий окіл точки с. У якому ф-ція зберігає свій знак. Нехай неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізку приймає значення різних знаків, тоді знайдеться хоча б одна точка така що .

Геометричний зміст: Будь-яка неперервна крива при переході із нижньої півплощини у верхню або навпаки перетинає вісь ох.

ТЕОРЕМА3(про середнє значення ф-ції) Нехай неперервна на відрізку і на кінцях цього відрізку набуває різних значень, тобто , то для величини , що знах-ся між числами і знайдеться така , що . Зауваження: теорема 2 є окремим випадком теореми 3 якщо .

ТЕОРЕМА4(теорема Веєрштраса)

неперервна на відрізку ф-ція набуває свого найбільшого і найменшого значення. Тобто серед всіх значень ф-ції де існує і

Нагадаємо, що ф-ція неперервна у т.а щз деякої числової множини Е, якщо

Але треба мати на увазі, що число яке ми знаходимо перед заданням взагалі кажучи залежить від , а це і від точки а, тобто .

Якщо існує яке не залежить від , то ф-цію називають рівномірно неперервною на множині E. Дамо точне означення рівномірній неперервності. Ф-ція наз-ся рівномірно неперервною на числ. Множині E якщо , що залежить тільки від точок множини Ε таке що і задовольняють нерівності виконується нер-ть .

Зрозуміло, що якщо ф-ція рівномірно неперервна на мн-ні Ε, але обернене твердження взагалі кажучи не виконується. Наприклад .

ТЕОРЕМА5.(теорема Кантора)

Якщо ф-ція рівномірно неперервна на проміжку , то дана ф-ція неперервна на цьому проміжку.