Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу
Тогда
- двойной интеграл Фурье.
О
кончательно
получаем:
- представление функции f(x) интегралом Фурье.
Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:
Преобразование Фурье.
Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция
называется преобразованием Фурье функции f(x).
Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).
Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:
Это равенство называется обратным преобразованием Фурье
Интегралы
и
называются соответственно косинус
- преобразование Фурье и синус –
преобразование Фурье.
Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.
Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.
Ряды Вопросы без доказательства
Дать определение
Числового ряда
Общего члена числового ряда
Частичной суммы ряда
Что значит, что числовой ряд сходится
Сумма числового ряда
Знакочередующийся ряд
Абсолютно сходящийся ряд
Условно сходящийся ряд
Критерий Коши сходимости рядов
Необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости ряда
Теорема о группировке членов сходящегося ряда
Теорема о перестановке членов сходящегося ряда
Теорема о перестановке членов условно сходящегося ряда
группировке членов абсолютно сходящегося ряда
Теорема о ряде, составленный из всех произведений членов двух абсолютно сходящихся рядов
Функциональный ряд
Область сходимости функционального ряда
Степенной ряд
Интервал сходимости степенного ряда
Функциональный ряд , сходящийся в точке
Равномерно сходящаяся последовательность функций
Равномерно сходящийся ряд
Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда
Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда
Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда
Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда
Радиус сходимости степенного ряда
Ряд Тейлора
Ряд Маклорена
Остаточный член ряда Тейлора в форме Лагранжа
Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора
Тригонометрический ряд
Ряд Фурье
Ряд Фурье для четной функции
Ряд Фурье для нечетной функции
Ряд Фурье для функции, определенной на отрезке
Вопросы с доказательством
Исследование геометрической прогрессии на сходимость
Исследование обобщенно-гармонического ряда на сходимость
Свойства сходящихся рядов: теорема об отбрасывании конечного числа членов ряда
теорема об умножении сходящегося ряда на константу
О суммировании сходящихся рядов
Необходимый признак сходимости
Первый признак сравнения
Второй признак сравнения
Признак Даламбера
Признак Коши
Интегральный признак сходимости
Доказать, что
Признак Лейбница
Следствие из признака Лейбница об оценке разности
Теорема Абеля
Теорема Тейлора о разложении функций в степенной ряд
Разложить в ряд Маклорена функцию
Разложить в ряд Маклорена функцию
Разложить в ряд Маклорена функцию
Разложить в ряд Маклорена функцию
Разложить в ряд Маклорена функцию
Разложить в ряд Маклорена функцию
Вывести формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье
Теорема о сходимости ряда Фурье
Ортогональная система функций