5. Математическая модель динамических объектов в форме модели вход-состояние-выход.

В виде уравнения:

(x=Ax+Bu

(y=Cx

Xє Rⁿ x – n-мерный вектор состояния

Yє R^l y – l-мерный вектор выходных (регулируемых) переменных

Uє R^k u – k-мерный вектор входных переменных

[a_ij] – матрица nxn, описывает динамические свойства системы

[b_ij] – матрица nxl прямоугольная матрица, которая описывает точки приложения входного сигнала и называется матрицей входа (в какие точки системы приложено упр. воздействие)

[c_ij] – матрица lxn выхода

В математической модели вход-выход нельзя контролировать состояние (вектор состояния). Форма записи не влияет на поведение системы, должны получатся идентичные графики!

6. Взаимный переход между формами представления математической модели.

Переход от В-С-В к В-В

A_nyⁿ+a_n-1y^n-1+…+a₀y=b_mu^m+b_m-1u^m-1+…+b₀

В ур-ии заменим операцию дифференциорвания

px-Ax=Bu I-единичная матрица

x(pI-A)=Bu

x=(pI-A)^-1Bu

y=c(pI-A)^-1B * u

| W(p) |

W(p)=c(pI-A)^-1B

W(p)=b(p)/a(p) тогда a(p)y=b(p)u

Переход от В-В к В-С-В является неоднозначным переходом, связанным с произвольным назначением вектора-состояния X. Осуществляется с помощью схем моделирования.

7. Схема моделирования динамических объектов и модель вход-состояние-выход в канонической управляемой форме.

8. Схема моделирования динамических объектов и модель вход-состояние-выход в канонической наблюдаемой форме.

9. Временные характеристики линейных систем: переходная и импульсная функции.

Решение ДУ a_nyⁿ+a_n-1y^n-1+…+a₀y=b_mu^mb_m-1u^m-1+…+b₀ (1)

Является функция y(y₀,y₀’,…,y₀^n-1,t), которая при t=0 соответствует начальным условиям, а для любых tє[0;t_f] удовлетворяет уравнению (1)

Переходным процессом называют реакцию системы на единичное ступенчатое воздействие g(t) при нулевых н.у.

G(t)=(0 t<0

1. t>=0

Переходная функция описывает траекторию движения при единично воздействии и нулевых н.у. Решение y(t) может быть представлено в виде двух слагаемых, где:

Y=y_своб(t)+y_вынужд(t) U=_0

Своб - свободная сост. Системы

Вынужд – вынужденная

{Соотв. Решении ур-ия составляющая при ненулевых н.у. и нулевом входном воздействии. Получается при ненулевом задающем возд. И нулевых н.у.}

Функция веса δ(t) представляет собой реакцию системы на единичную импульсную функцию, поданную на ее вход

δ(t)=d/dt * h(t)=d/dt *1(t)

Импульс бесконечно большой амплитуды А и бесконечно малой длительности t

δ(t)=-infИНТinf δ(t)dt=1

10. Типовые динамические звенья первого порядка и их характеристики.

Переходной функцией системы или звена y=h(t) называется переходный процесс выходной переменной при единичном входном воздействии g=1(t) и нулевых начальных условиях. По графику переходной функции может быть определена математическая модель исследуемого динамического звена и ее параметры.

Интегрирующее звено (интегратор) описывается дифференциальным уравнением:

или ,

где - коэффициент усиления, а его переходная функция .

Изодромное звено описывается дифференциальным уравнением:

или ,

а его переходная функция -

.

Реальное дифференцирующее звено описывается дифференциальным уравнением

или

а его переходная функция -

.

Апериодическое звено 1-го порядка описывается дифференциальным уравнением:

или ,

а его переходная функция - .