27. Решение задачи Кеплера в формализме Лагранжа.

Кинетическая энергия в центрально-симметричном поле:

Потенциальная энергия:

M-масса солнца, m-масса планеты.

В этом случае система имеет 2 степени свободы:

Уравнения Лагранжа-Эйлера будут:

тогда:

Т. к.

то уравнение Лагранжа-Эйлера явно не зависит от , то - циклическая величина.

Пусть

Перепишем (1) с учетом введенных констант:

r=r(φ)

Каким расст. от силового центра в зав. от φ:

Общее решение:

28. Законы Кеплера.

Законы Кеплера — три эмпирических соотношения, интуитивно подобранных на основе анализа астрономических наблюдений

Первый закон Кеплера (закон эллипсов):

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением

где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c=0 и e=0 эллипс превращается в окружность.

Доказательство 1-го закона Кеплера

Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Второй закон Кеплера (закон площадей):

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

Третий закон Кеплера (гармонический закон):

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

Комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

29. Основные элементы описания линейных многомерных колебаний в формализме Лагранжа.

Введем многомерный вектор:

При введении многомерных векторов и матриц уравнение функции Лагранжа для колеблющейся многомерной системы в линейном приближении можем переписать в виде:

30.Уравнения колебаний многомерной системы в формализме лагранжа в линейном приближении.

Запишем уравнение в виде Лагранжа-Эйлера:

В дальнейшем будем рассматривать мех.сист. у которых матрицы m и æ являются симметричными.

;