13. Ряды Тейлора и Маклорена

Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена

   Пример 1

Найти ряд Маклорена для функции .

Решение.

Воспользуемся тригонометрическим равенством . Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид , то можно записать

     

Отсюда следует:

     

   Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x = 1.

Решение.

Вычислим производные:

     

Видно, что для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

     

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

     

   Пример 3

Найти разложение в ряд Маклорена функции e ^kx, k − действительное число.

Решение.

Вычислим производные:

     

Тогда в точке x = 0 получаем

     

Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой

     

   Пример 4

Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x³ в точке x = 2.

Решение.

Обозначим . Тогда

     

и далее для всех x ≥ 4. В точке x = 2, соответственно, получаем

     

Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид

     

   Пример 5

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Пусть , где μ − действительное число, и x ≠ −1. Производные будут равны

     

При x = 0, соответственно, получаем

     

Следовательно, разложение в ряд записывается в виде

     

Полученное выражение называется биномиальным рядом.

   Пример 6

Найти разложение в ряд Маклорена функции .

Решение.

Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя , получаем

     

Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде

     

14 Не нашел

15. Понятие ряда Фурье -периодической функции и задача о разложении периодической функции в ряд Фурье

В курсе математического анализа вы познакомились с понятием функционального ряда и работали с его важным частным случаем -- степенным рядом .В этой главе мы рассмотрим другой очень важный (в том числе и для физических приложений) частный случай функциональных рядов -- тригонометрический ряд, который будем записывать в виде

где a_n и b_n -- вещественные числа.

Начнем с вопроса о том можно ли данную функцию представить в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты a_n и b_n такие, что для всех имеет место равенство

Сумма ряда, стоящего справа в формуле (2), есть, очевидно, -периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно только периодические функции f. Кроме того ясно, что если две периодические функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они совпадают всюду. Поэтому равенство (2) нам достаточно проверить на некотором промежутке длины , например, .

Чтобы продвинуться далее, обратимся к следующим наводящим соображениям. [Наводящие соображения отличаются от доказательства тем, что при их выполнении не следят за соблюдением формальных условий законности совершаемых действий.] Предположим, что равенство (2) имеет место для всех , а функция и коэффициенты a_n, b_n таковы, что все совершаемые действия законны. Найдем формулы для вычисления a_n, b_n.

Чтобы найти a₀, проинтегрируем равенство (2) почленно:

Однако для n>0 справедливы равенства

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями и мы получим

Для того чтобы найти a_m при m>0, умножим обе части равенства (2) на и проинтегрируем почленно:

Первый член справа исчезнет ввиду (3), а в соответствии с известными формулами тригонометрии мы получим

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме того, при котором множителем стоит именно коэффициент a_m. Отсюда этот коэффициент и определяется:

Аналогично, умножая разложение (2) на и затем интегрируя почленно, получим формулу для коэффициента при синусе:

Формулы (4) - (6) часто называют формулами Эйлера -- Фурье ; вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье  функции f, а составленный с их помощью ряд (1) -- рядом Фурье  функции f.

Обратим внимание, что постоянная a₀/2 в (1) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (4) и (5).

Вышеприведенные наводящие соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения ее ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций этот ряд сходится и притом -- именно к данной функции. Пока же это не сделано, функции f сопоставляют ее формальный ряд Фурье  (что обычно записывают в виде)

про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции f по формулам Эйлера -- Фурье (4) - (6), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более -- о его сходимости к данной функции.

16. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Свойство определенного интеграла на симметричном отрезке:

Пусть f(x) задана на промежутке четным образом, тогда f(-x)=f(x).

Пусть f(x) задана на промежутке нечетным образом, тогда f(-x)= - f(x).

17. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. Выбор в качестве промежутка интегрирования отрезка   не является принципиальным. Можно разлагать функцию в ряд Фурье и на каком-либо другом промежутке  . Переход от одного сегмента к другому можно осуществить сдвигом первоначального сегмента вдоль оси ОХ и изменением масштаба. Для периодической функции сдвиги по оси ОХ не изменяют ни коэффициентов Фурье, ни ортонормированности системы функций.

Теорема. Если функция   периодическая с некоторым периодом  , то для любых чисел   и   выполняется равенство

 

  . ■                                   (6.1)

 

Из теоремы следует, что интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и то же значение. Поэтому при вычислении коэффициентов Фурье можно заменить промежуток интегрирования   промежутком интегрирования  , где   – любое число:  

,  ,  .    

Если нужно разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию   на отрезке  , длина которого   отличается от длины  , то можно произвести подстановку  . Тогда функция   как функция от переменной   будет задана на сегменте длиной  , а именно  . Можно при этом говорить об изменении периода   на период  .

Для функции с произвольным периодом   разложение в ряд Фурье имеет вид

 

,                       (6.2)

 

а формулы для коэффициентов Фурье таковы:

 

   ,  ,  , (6.3)

 

где 

18. Представление непериодической функции рядом Фурье.