11 Вопрос

Радиус-вектор точки. Длина радиус-вектора. Геометрические векторы и их свойства.

Вектор–направленный отрезок, соединяющий начальную точку с конечной.

Дина вектора–число, равное длине отрезка, изображающего вектор.

Коллинеарные–векторы, лежащие на одной прямой или на коллинеарных прямых.(b=k*a)

Вектора коллинеарны, когда их координаты пропорциональны.

Нулевой–начало и конец совпадают

Произведением вектора a на число λ называется вектор b, имеющий длину |b|=|λ|*|a|, направление которого совпадает с направлением вектора a, если λ>0 и противоположно, если λ<0.

Сумма двух векторов–вектор, начало которого совпадает с началом вектора a, а конец совпадает с концом вектора b.

Базис декартовой системы координат называется набор векторов i, j, k, лежащих на осях x, y, z и имеющих длину, равную единице.

Радиус-вектор точки–вектор с началом координат в начале системы счисления и с концом в этой точке.(r=x*i+y*j+z*k равен сумме произведения координат этой точки на единичные базисные вектора)

Векторы равны, если равны их соответствующие координаты

12 Вопрос

Направляющие угла и направляющие косинусы вектора.

13 Вопрос

Скалярное произведение векторов и его свойства

СПВ–произведение модулей этих векторов на косинус угла между ними.

a*b=|a|*|b|*cos(aˆb)

Свойства:

1. a*b=b*a

2. если а и b сонаправлены, то a*b=|a|*|b|

3. если а и b не сонаправлены, то a*b= –|a|*|b|

4. если a перпендикулярен b, то a*b=0

5. a(b+c)=ab+ac

6. a*b=|a|*проекция_ab

7. a*b=|b|*проекция_ba

a*b=a₁*b₁+ a₂*b₂+ a₃*b₃

14 Вопрос

Проекция вектора на направление другого

a*b=|a|*проекция_ab

a*b=|b|*проекция_ba

15 Вопрос

Векторное произведение векторов и его свойства

Векторным произведением векторов a и b называется третий вектор c, определяемый условиями:

1. с a, с b

2. |c|=|a|*|b|*sin(λ)

3. |c|=S_{параллелограмма, построенного на векторах a и b}

Свойства:

1. a×b= –b×a

2. a×(b+c)=a×b+a×c

i j k

3. a×b= x₁ y₁ z₁= i*…– j*…+k*…

x₂ y₂ z₂

16 Вопрос

Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов a,b,c называется число, равное (a×b)*c

Свойства:

1. (a×b)*c=(a*b)×c→abc

2. abc=bca=cab

3. abc= –bac

4. abc=V_{куба, построенного на трех векторах}

Если три вектора лежат в одной плоскости, то V=0→abc=0

abc-определитель от координат 3-х векторов.

17 Вопрос

Уравнение прямой на плоскости

Ax+By+C=0

A^2+B^2<>0

tgα=k= –A/B

M₁=(x₁, y₁), M₂=(x₂, y₂)

k= (y₂–y₁)/( x₂–x₁)

y-y₀=k(x-x₀)

18 Вопрос

Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Угол между прямыми.

если k₁=k₂, то прямые параллельны

если k₁*k₂= –1, то прямые перпендикулярны.

tgα=( k₁-k₂)/(1+ k₁*k₂)

19 Вопрос

Каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки

.

x =S_xt+x₀ где t

y=S_yt+y₀

z=S_zt+z₀

20 Вопрос

Уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Ax+By+Cz+D=0

n-нормаль, перпендикулярная плоскости; n (A,B,C)

M₀=(x₀, y₀, z₀)

21 Вопрос

Расстояние от точки до прямой

22 Вопрос

Расстояние от точки до плоскости

d=|A x₀+By₀+Cz₀+D|/(√A^2+B^2+C^2)

23 Вопрос

Угол между прямой и плоскостью

угол между вектором прямой и нормалью

24 Вопрос

Эллипс

это геометрическое место точек, сумма расстояния от которых до 2-х фиксированных, называемых фокусами остается величиной постоянной

. , где b^2=a^2-c^2

Эксцентриситет–это отношение длинной большой оси к расстоянию между фокусами

ε=c/a

25 Вопрос

Гипербола

это геометрическое место точек, разность расстояния от которых до двух фиксированных, называемых фокусами, остается постоянным

.

a-вещественная ось

b-мнимая ось

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если точка, лежащая на графике функции при удалении от начала координат бесконечно близко подходит к этой прямой.

26 Вопрос

Парабола

это геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой линии, называемой директрисой и некоторой точки, называемой фокусом.

p-параметр

.