- •1.Ассоциативность;
- •Свойства обратной матрицы
- •Описание метода
- •Вектор в линейном пространстве
- •Операции над векторами
- •Вектор с координатами (-b,a) или (b,-a) называется направляющим вектором. Уравнения прямой на плоскости
- •Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Классификация кривых второго порядка
- •Вырожденные кривые
- •Примеры
- •19) Однородные системы
- •Примеры
- •Описание
Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк);
умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).
Операции над матрицами
Умножение матрицы на число
Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен
Свойства умножения матриц на число
1. 1*A = A;
2. (Λβ)A = Λ(βA)
3. (Λ+β)A = ΛA + βA
4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB
Сложение матриц
Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен
Свойства сложения матриц
5.коммутативность;
6.ассоциативность;
7.сложение с нулевой матрицей;
8.существование противоположной матрицы;
Все свойства линейных операций , повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема:
Множество всех матриц одинаковых размеров MxN образуют линейное пространство над полем P(полем всех действительных или комплексных чисел), поэтому каждая матрица является и вектором этого пространства.
Умножение матриц
Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.
Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть .
Свойства умножения матриц
1.Ассоциативность;
2.произведение не коммутативно;
3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей;
4.справедливость дистрибутивного закона;
5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);
Комплексное сопряжение
Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь — число,комплексно сопряжённое к a.
Транспонирование и эрмитово сопряжение
Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (aij), то AT = (aji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно.
Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Свойства определителей
Определитель — кососимметричная полилинейная функция строк (столбцов) матрицы. Полилинейность означает, что определитель линеен по всем строкам (столбцам): , где и т. д. — строчки матрицы, — определитель такой матрицы.
При добавлении к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов) определитель не изменится.
Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.
Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число
,
где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу):
Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что
при и .
Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы:
заменить каждый элемент исходной матрицы на его алгебраическое дополнение,
транспонировать полученную матрицу - в результате будет получена союзная матрица,
разделить каждый элемент союзной матрицы на определитель исходной матрицы.
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Свойства обратной матрицы
, где обозначает определитель.
для любых двух обратимых матриц A и B.
где * T обозначает транспонированную матрицу.
для любого коэффициента .
Если необходимо решить систему линейных уравнений Ax = b, (b — ненулевой вектор) где x — искомый вектор, и если A − 1 существует, то x = A − 1b. В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).