37. Решение систем нелинейных уравнений.Алгоритм и программа метода итераций в qbasic.

Метод Ньютона-Рафсона:

Основа метода – разложение в ряд Тейлора: всякая функция f(z) аналитеческая внутри некоторого круга с центром a может быть во всех точках этого круга единственным образом представлена в виде:

Х₁,х₂….x_n – точные значения

Х₁⁽⁰⁾ … Х_n⁽⁰⁾ – приближения

Так как левые части уравнений равны о, то и правые равны 0. П олучаем систему линейных уравнений относительно dx-ов:

Запишем матрицу данной системы, определитель которой – якобиан. (Якобиан) – I.

Алгоритм:

1)Задать начальные приближения х₁⁰….x_n⁰

2) Вычислить частные производные при этих

значениях

3)Решить систему линейных уравнений dx₁,dx₂…dx_n

4)x_n⁽¹⁾=x_n⁽⁰⁾+dx_n

5)max|dx_i|=?

6) max|dx_i|_<E (условие прекращения вычислений)

7) следующие итерации.

Пример:

'Reshenie sistem nelibneinih uravnenii metodom Newton'a-Rafson'a

DECLARE FUNCTION F1 (x1, x2)

DECLARE FUNCTION F2 (x1, x2)

DECLARE FUNCTION F1x1 (x1, x2)

DECLARE FUNCTION F1x2 (x1, x2)

DECLARE FUNCTION F2x1 (x1, x2)

DECLARE FUNCTION F2x2 (x1, x2)

CLS

x10 = 0: x20 = 0

E = .000001

M = 1

i = 1

DO

j = F1x1(x10, x20) * F2x2(x10, x20) - F2x1(x10, x20) * F1x2(x10, x20)

D1 = -F1(x10, x20) * F2x2(x10, x20) + F2(x10, x20) * F1x2(x10, x20)

D2 = -F2(x10, x20) * F1x1(x10, x20) + F1(x10, x20) * F2x1(x10, x20)

Dx1 = D1 / j

Dx2 = D2 / j

x1 = x10 + Dx1

x2 = x20 + Dx2

R1 = ABS(x10 - x1)

R2 = ABS(x20 - x2)

i = i + 1

x10 = x1

x20 = x2

LOOP WHILE R1 > E OR R2 > E OR i < M

PRINT "x1="; x10

PRINT "x2="; x20

PRINT "chislo iteracii="; i

END

FUNCTION F1 (x1, x2)

F1 = COS(x1) + x2 - 1.5

END FUNCTION

FUNCTION F1x1 (x1, x2)

F1x1 = -SIN(x1)

END FUNCTION

FUNCTION F1x2 (x1, x2)

F1x2 = 1

END FUNCTION

FUNCTION F2 (x1, x2)

F2 = 2 * x1 - SIN(x2 - .5) - 1

END FUNCTION

FUNCTION F2x1 (x1, x2)

F2x1 = 2

END FUNCTION

FUNCTION F2x2 (x1, x2)

F2x2 = -COS(x2 - .5)

END FUNCTION

39. Интерполяция функции,заданной таблично.Реализация сплайн-кубической интерполяции в mathcad

Интерполяция функции – это частный вид аппроксимации. При этом способе параметры аппроксимации функции находятся из условия:

F(x_i)=g(x_i)

Это означает, что x_i, y_i=f(x_i) – узлы интерполяции. Значения аппроксимирующей функции в узлах интерполяции g(x_i) совпадают со значениями функции в узлах интерполяции. Т.е. при аппроксимации происходит максимальное приближение. Существует два вида интерполяции: локальная и глобальная. Если на каждом интервале строится своя аппроксимирующая функция, то это локальная интерполяция, а если интерполяционная кривая строится единой для всего отрезка, то такая интерполяция называется глобальной.

Сплайн-кубическая интерполяция:

Широкое распространение для локальной интерполяции получило использование кубических сплайнов. Сплайн – это специальным образом построенный многочлен третьей степени.

S(x)=a_i+b_i(x_i-x_i-1)+c_i(x_i-x_i-1)²+d_i(x_i-x_i-1)³

Сплайн представляет собой некоторую математическую модель гибкого стержня из упругого материала, концы которого жестко закреплены. Тогда между точками закрепления стержень примет некоторую форму, минимизирующую её потенциальную энергию. Для определения коэффициентов a_i,b_i,c_i,d_i на всех n элементарных участках от x_i-1<x<x_i необходимо получить 4n уравнений.

Сплайн – интерполяция в МС проводится в 2 стадии:

1) С помощью функции cspline(_,_) вырабатывается вектор вторых производных.

2 ) На втором этапе с помощью функции interp (_,_,_,_,_) находятся значения функции в точках, не совпадающих с узлами интерполяции.

N:=length(x)-1

I:=0..n

P=cspline(x,y) ‘вырабатывается вектор P вторых производных

Interp (x,y,P, [координата, не с овпадающая с узлами интерполяции])

R(X):=interp(x,y,P,X)

X:=min(x),min(x)+h…max(x)

3)построение графика