28. Решение уравнения с одной неизвестной

(f(x)=0).Этапы решения задачи.Программа поиска корня уравнения методом деления отрезка пополам.

Этапы решения численных задач на ЭВМ:

1) Постановка инженерной задачи, заключается в содержательной постановке задачи и определении конечных целей решения

2) Построение математической модели, т.е. условие задачи записывается в виде математического соотношения

3) Выбор численного метода решения задачи

4) Разработка алгоритма, блок-схемы

5) программирование

6) анализ и интерпретация полученных результатов

Под решением уравнения f(x)=0, где функция f(x) непрерывна и определена на некотором конечном или бесконечном интервале a<=x<=b понимают нахождение такого X, которое обращает функцию f(x) в ноль.

Геометрический смысл: корень уравнения – абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) с осью OxВиды уравнений:

Если функция f(x) предстьавляет собой многочлен, то такое уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f(x) входят элементарные функции (sin, cos, показательная, логарифмическая и т.д., то такое уравнение называется трансцендентным. Весь процесс нахождения корня состоит из 2 этапов:

1) отделение корня – определение достаточно узкого интервала [a,b]б на котором содержится только 1 корень уравнения

2) уточнение приближенного значения корня из отделенного интервала до заданной степени точности

Отделение корней уравнения f(x)=0:

Для отделения корней уравнения используется теорема:

-Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах интервала [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого интервала содержится по крайней мере, оди корень уравнения. Теорема не говорит о количестве корней.

Алгоритм отделения корней:

Для отделения корней используется процедура табулирования функции (-процедура вычисления значения функции, в зависимости от аргумента, меняющегося с постоянной величиной)

Блок схема:

-Declare Function F(x)

-CLS

-input “xn.xk,h”;xn,xk,h

For x=xn to xk step h

If f(x)*f(x+h)<0 then

A=x

B=x+h

? “A=”A “F(A)=” F(A)

? “B=”B “F(B)=” F(B)

End if

Next x

Предположим, что корень уравнения f(x)=0 отделен на интервале [a,b], т.е. на этом интервале содержится один единственный корень

В данном методе [a,b] делится пополам и получается точка, координаты которой вычисляются по формуле:

X=(A+B)/2

Точка х разбивает интервал [a,b] на 2 новых интервала [a,x] и [x,b]. Достаточно проверить знак функции на концах одного из двух интервалов.

Если f(a)*f(x)>0, то в этом интервале корень х не содержится (так как функция не меняет знак на этом интервале). Интервал [a,x] отбрасыается, что равносильно переносу точки a в точку b, т.е. (a=x). Суженный вдвое интервал [a,b] снова делится пополам и снова отбрасывается интервал, не содержащий корня.

Деление будет производиться до тех пор, пока его длина не станет меньше заданной степени точности:

|b-a|<E

Корень уравнения будет равен середине последнего интервала.

Блок-схема:

Declare function F(x)

CLS

Input “A,B,E”;A,B,E

E=1E-6

N=0

Do

X=(a+b)/2

If f(a)*f(x0>0

Then a=x

Else

B=x

End if

N=n+1

Loop while abs (b-a)>E

? “x=”x

? “N=”N

End

Проверка (в окне «немедленно» найти f(x)

29. Решение уравнения с одной неизвестной (f(x)=0).Этапы решения задачи.Программа поиска корня уравнения методом касательных.

Этапы решения численных задач на ЭВМ:

1) Постановка инженерной задачи, заключается в содержательной постановке задачи и определении конечных целей решения

2) Построение математической модели, т.е. условие задачи записывается в виде математического соотношения

3) Выбор численного метода решения задачи

4) Разработка алгоритма, блок-схемы

5) программирование

6) анализ и интерпретация полученных результатов

Под решением уравнения f(x)=0, где функция f(x) непрерывна и определена на некотором конечном или бесконечном интервале a<=x<=b понимают нахождение такого X, которое обращает функцию f(x) в ноль.

Геометрический смысл: корень уравнения – абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) с осью OxВиды уравнений:

Если функция f(x) предстьавляет собой многочлен, то такое уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f(x) входят элементарные функции (sin, cos, показательная, логарифмическая и т.д., то такое уравнение называется трансцендентным. Весь процесс нахождения корня состоит из 2 этапов:

1) отделение корня – определение достаточно узкого интервала [a,b]б на котором содержится только 1 корень уравнения

2) уточнение приближенного значения корня из отделенного интервала до заданной степени точности

Отделение корней уравнения f(x)=0:

Для отделения корней уравнения используется теорема:

-Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах интервала [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого интервала содержится по крайней мере, оди корень уравнения. Теорема не говорит о количестве корней.

Алгоритм отделения корней:

Для отделения корней используется процедура табулирования функции (-процедура вычисления значения функции, в зависимости от аргумента, меняющегося с постоянной величиной)

Блок схема:

-Declare Function F(x)

-CLS

-input “xn.xk,h”;xn,xk,h

For x=xn to xk step h

If f(x)*f(x+h)<0 then

A=x

B=x+h

? “A=”A “F(A)=” F(A)

? “B=”B “F(B)=” F(B)

End if

Next x

Метод касательных:

В этом методе за начальное приближение корня уравнения f(x)=0 принимается один из концов интервала [a,b]. (x0=b) Восстановим перпендикуляр из точки x0 до пересечения с кривой y=f(x) в точке M(x0,y0). Проведем касательную к точке М0 и найдем ее точку пересечения с осью Ох. Полученную на оси точку обозначим х1, что будет называться первым приближением к корню. Из точки x1 восстанавливаем перпендикуляр, проводим касательную к точке М1, которая пресекает ось Ох в точке x2.

Получается числовой ряд х0,х1,х2…, сводящийся к корню уравнения х.

Условия сходимости метода: Последовательность х0…..xn сводится к корню уравнения х, если f(x)*f2(x)>0, т.е. за начальное приближение х0 принимаем тот из концов интервала [a,b], для которого функция и ее вторая производная имеют одинаковый знак. Если условие не соблюдается, то следующее приближение будет выходить за пределы интервала [a,b]. Критерий окончания вычислительного процесса - |x_k+1-x_k|<E (k=0,1,2….).

Вывод вычислительной формулы.

В этом методе приходится проводить касательные к точкам M_k(x_k,f(x_x)), k=0,1… и искать точку пересечения касательной с осью х, т.е. искать точку х_к+1. Запишем уравнение касательной:

У=f(x_k)*(x_-xk

x=x_k=1 y=0

f(x_k)=f1(x_k)*(x_k+1-x0)

x_k+1-x_k=-f(x_k)/f1(x_k)+x_k

x_k+1-= x_k -f(x_k)/f1(x_k)+x_k - формула Ньютона (рекуррентная)

Пример:

ECLARE FUNCTION f (x)

DECLARE FUNCTION f1 (x)

DECLARE FUNCTION f2 (x)

CLS

INPUT "A,B,E"; a, b, e

n = o

IF f(a) * f2(a) > 0 THEN

x0 = a

ELSE

x0 = b: b = a

END IF

PRINT "x0="; x0

PRINT "uslovie shodimosti"; f(x0) * f2(x0)

DO

x = x0 - f(x0) / f1(x0)

R = x0 - x

n = n + 1

x0 = x

LOOP WHILE ABS(R) > e

PRINT "x="; x

PRINT "chislo iteracii"; n

END

FUNCTION f (x)

f = x * 2 ^ x - 1

END FUNCTION

FUNCTION f1 (x)

f1 = 2 ^ x * (1 + x * LOG(2))

END FUNCTION

FUNCTION f2 (x)

f2 = LOG(2) * 2 ^ x * (2 + x * LOG(2))

END FUNCTION

30. Решение уравнения с одной неизвестной (f(x)=0).Этапы решения задачи.Программа поиска корня уравнения методом хорд.

Этапы решения численных задач на ЭВМ:

1) Постановка инженерной задачи, заключается в содержательной постановке задачи и определении конечных целей решения

2) Построение математической модели, т.е. условие задачи записывается в виде математического соотношения

3) Выбор численного метода решения задачи

4) Разработка алгоритма, блок-схемы

5) программирование

6) анализ и интерпретация полученных результатов

Под решением уравнения f(x)=0, где функция f(x) непрерывна и определена на некотором конечном или бесконечном интервале a<=x<=b понимают нахождение такого X, которое обращает функцию f(x) в ноль.

Геометрический смысл: корень уравнения – абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) с осью OxВиды уравнений:

Если функция f(x) предстьавляет собой многочлен, то такое уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f(x) входят элементарные функции (sin, cos, показательная, логарифмическая и т.д., то такое уравнение называется трансцендентным. Весь процесс нахождения корня состоит из 2 этапов:

1) отделение корня – определение достаточно узкого интервала [a,b]б на котором содержится только 1 корень уравнения

2) уточнение приближенного значения корня из отделенного интервала до заданной степени точности

Отделение корней уравнения f(x)=0:

Для отделения корней уравнения используется теорема:

-Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах интервала [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого интервала содержится по крайней мере, оди корень уравнения. Теорема не говорит о количестве корней.

Алгоритм отделения корней:

Для отделения корней используется процедура табулирования функции (-процедура вычисления значения функции, в зависимости от аргумента, меняющегося с постоянной величиной)

Блок схема:

-Declare Function F(x)

-CLS

-input “xn.xk,h”;xn,xk,h

For x=xn to xk step h

If f(x)*f(x+h)<0 then

A=x

B=x+h

? “A=”A “F(A)=” F(A)

? “B=”B “F(B)=” F(B)

End if

Next x

Метод Хорд:

В методе хорд за начальное приближение ч0 также принимается один из концов интервала [a,b], эля которого функция и ее вторая производная имеют разные знаки.

Этот конец называется подвижным; другой конец называется неподвижным и в этом методе работают оба конца. Из точки х0 восстанавливаем перпендикуляр к кривой у=f(x) до пересечения в точке M0(x0,f(x0)). Из точки B восстанавливаем перпендикуляр до пересечения в точке N(b, f(b)), соединим точки M0 и N хордой и найдем ее точку пересечения с осью Ох, которую обозначим ч1 и назовем первым приближением. Проведем хорду M₁N и найдем на оси точку x2 и т.д. Вычисления будем производить до тех пор, пока:

|x_k+1-x_k|<E

вывод вычислительной формулы:

запишем уравнение прямой, проходящей через две точки M_k(x_k,f(x_k)) и N(b,f(b))

(x-x_k)/(x_k-b)=(y-f(x_k))/(f(x_k)-f(b))

в точке пересечения хорды с осью х х=х_к+1; y=0

(x_k+1-x_k)/(x_k-b)=-f(x_k)/(f(x_k)-f(b))

(x_k+1-x_k)= -f(x_k)* (x_k-b)/(f(x_k)-f(b))

x_k+1= x_k-f(x_k)* (x_k-b)/(f(x_k)-f(b)) – вычислительная формула для случая, когда b является неподвижным концом.

Пример:

DECLARE FUNCTION f (x)

DECLARE FUNCTION f1 (x)

DECLARE FUNCTION f2 (x)

CLS

INPUT "A,B,E"; a, b, e

n = o

IF f(a) * f2(a) < 0 THEN

x0 = a

ELSE

x0 = b: b = a

END IF

PRINT "x0="; x0

PRINT "uslovie shodimosti"; f(x0) * f2(x0)

DO

x = x0 - f(x0) * (x0 - b) / (f(x0) - f(b))

R = x0 - x

n = n + 1

x0 = x

LOOP WHILE ABS(R) > e

PRINT "x="; x

PRINT "chislo iteracii"; n

END

FUNCTION f (x)

f = x * 2 ^ x - 1

END FUNCTION

FUNCTION f1 (x)

f1 = 2 ^ x * (1 + x * LOG(2))

END FUNCTION

FUNCTION f2 (x)

f2 = LOG(2) * 2 ^ x * (2 + x * LOG(2))

END FUNCTION

31. Решение уравнения с одной неизвестной (f(x)=0).Этапы решения задачи.Программа поиска корня уравнения методом итераций.

Этапы решения численных задач на ЭВМ:

1) Постановка инженерной задачи, заключается в содержательной постановке задачи и определении конечных целей решения

2) Построение математической модели, т.е. условие задачи записывается в виде математического соотношения

3) Выбор численного метода решения задачи

4) Разработка алгоритма, блок-схемы

5) программирование

6) анализ и интерпретация полученных результатов

Под решением уравнения f(x)=0, где функция f(x) непрерывна и определена на некотором конечном или бесконечном интервале a<=x<=b понимают нахождение такого X, которое обращает функцию f(x) в ноль.

Геометрический смысл: корень уравнения – абсцисса точки пересечения графика функции y=f(x) с осью OxВиды уравнений:

Если функция f(x) предстьавляет собой многочлен, то такое уравнение называется алгебраическим, если же в функцию f(x) входят элементарные функции (sin, cos, показательная, логарифмическая и т.д., то такое уравнение называется трансцендентным. Весь процесс нахождения корня состоит из 2 этапов:

1) отделение корня – определение достаточно узкого интервала [a,b]б на котором содержится только 1 корень уравнения

2) уточнение приближенного значения корня из отделенного интервала до заданной степени точности

Отделение корней уравнения f(x)=0:

Для отделения корней уравнения используется теорема:

-Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах интервала [a,b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого интервала содержится по крайней мере, оди корень уравнения. Теорема не говорит о количестве корней.

Алгоритм отделения корней:

Для отделения корней используется процедура табулирования функции (-процедура вычисления значения функции, в зависимости от аргумента, меняющегося с постоянной величиной)

Блок схема:

-Declare Function F(x)

-CLS

-input “xn.xk,h”;xn,xk,h

For x=xn to xk step h

If f(x)*f(x+h)<0 then

A=x

B=x+h

? “A=”A “F(A)=” F(A)

? “B=”B “F(B)=” F(B)

End if

Next x

Метод итераций.

В методе итераций исходное уравнение преобразyется к виду x=g(x).

К обеим частям исходного уравнения прибавляем х, а затем умножаем на постоянный коэффициент, который находят, исходя из условия сходимости метода итераций.

f(x)=0

x=x+a*f(x)

a=?

Алгоритм: задают начальное приближение х0 из интервала [a,b] и подставляют в правую часть уравнения g(x), т.е. вычисляют a. Полученное значение обозначают х1 и называют первым приближением корня. Подставляя х1 вg(x) находят a и т.д.

Х_к+1=g(x_k), где к – номер итерации

Вычислительный процесс проводят до тех пор, пока не выполняется условие |x_k+1-x_k|<E (k=0,1...)

Геометрическая интерпретация метода:

В методе итераций корень уравнения f(x)=0 рассматривается как точка пересечения двух графиков y=x, y=g(x)

Условия сходимости метода:

Метод итераций сходится при выполнении неравенства:

|g¹(x)|<1 на всем интервале [a,b], т.е.тангенс угла наклона касательной к кривой y=g(x) должен быть <1. В этом методе необходимо соответствующим образом найти первое приближение.

Выбор начального приближения:

Проверяем значение g¹(x) на концах интервала [a,b] (|g¹(a)| и |g¹(b)|<1, только в этом случае метод сходится). За начальное приближение х0 выбираем точку, для которой первая производная имеет меньшее значение

Пример:

DECLARE FUNCTION FI (x)

DECLARE FUNCTION FIP (x)

CLS

INPUT "vvedite konci intervala [a,b]"; a, b

INPUT "vvedite tochnost vichislenii"; e

n = 0

IF ABS(FIP(a)) > 1 AND ABS(FIP(b)) > 1 THEN

PRINT " method ne shoditsia"

ELSEIF ABS(FIP(a)) > ABS(FIP(b)) THEN

x0 = b

ELSE

x0 = a

END IF

DO

x = FI(x0)

r = x - x0

n = n + 1

x0 = x

LOOP WHILE ABS(r) > e

PRINT "koren uravneniia x="; x

PRINT "chislo iteracii="; n

PRINT " proverka tochnosti"; x - FI(x)

FUNCTION FI (x)

FI = x - 1 / 3 * (x * 2 ^ x - 1)

END FUNCTION

FUNCTION FIP (x)

FIP = 1 - 1 / 3 * (x * 2 ^ x + 2 ^ x * LOG(2))

END FUNCTION