40. Интерполяция функции,заданной таблично.Реализация интерполяции

полиномом Лагранжа в MATHCAD.

Глобальная интерполяция предполагает построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [x_i;x_n].График интерполяционного полинома полинома должен проходить через все заданные точки [x_i;y_i]. Обычно такой многочлен ищут в виде линейной комбинации многочленов степени n или (n-1).

L(x)=y₁l₁(x)+y₂l₂(x)……y_nl_n(x)

Такая линейная комбинация называется полиномом ЛаГранжа , где l_i(x)-полином сепени (n-1)ю Особенность полинома l_i(x): каждый многочлен l_i(x) обращается в ноль во всех узлах интерполяции, за исключением i-го узла, где он должен ровняться 1. Легко проверить, что эти условиям соответствует многочлен вида:

Степень полинома ЛаГранжа связана с числом точек, степень на 1 меньше числа точек.

Интерполяция полиномом ЛагГранжа в МС:

i=0..n j=0..n

L(число)=

X=min(x), min(x)+H..max(h)

-построение графика (ось y – y_i, L(X), ось х – x_i,X_

41. Интерполяция функции,заданной таблично.Алгоритм и программа линейной интерполяции в qbasic

Интерполяция функции – это частный вид аппроксимации. При этом способе параметры аппроксимации функции находятся из условия:

F(x_i)=g(x_i)

Это означает, что x_i, y_i=f(x_i) – узлы интерполяции. Значения аппроксимирующей функции в узлах интерполяции g(x_i) совпадают со значениями функции в узлах интерполяции. Т.е. при аппроксимации происходит максимальное приближение. Существует два вида интерполяции: локальная и глобальная. Если на каждом интервале строится своя аппроксимирующая функция, то это локальная интерполяция, а если интерполяционная кривая строится единой для всего отрезка, то такая интерполяция называется глобальной.

Алгоритм:

-Запишем уравнение прямой линии, проходящей через 2 точки:

(x_i-1,y_i-1) и (x_i,y_i)

Откуда получим выражение:

Y=y_i-1+(x-x_i-1)*(y_i-y_i-1)/(x_i-x_i-1)

Чтобы вычислить y от произвольной х_к в правую часть выше полученного уравнения достаточно вместо х подставить х_к.

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо для начала определить, в каком интервале находится точка х_к. Если точка х_к попадает в заданный интервал, то для этого интервала записываем уравнение прямой линии.

CLS

n = 13

INPUT "vvedite znachenine argumenta"; xk

DIM x(n), y(n)

DATA 1,3,4,5,6,8,11,12,13,14,16,17,19

DATA 2.6,23.16,27.57,24.26,16.63, 30.41,47.2,50.03,60.33,59.83,71.18,84.27,77.69

FOR i = 1 TO n

READ x(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO n

READ y(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO n

PRINT x(i); y(i)

NEXT i

PRINT

i = 1

DO

i = i + 1

LOOP WHILE xk > x(i)

y = y(i - 1) + (xk - x(i - 1)) * (y(i) - y(i - 1)) / (x(i) - x(i - 1))

PRINT "y("; xk; ")="; y

END

42. Интерполяция функции,заданной таблично.Алгоритм и программа с

использованием полинома Лагранжа в QBASIC.

Глобальная интерполяция предполагает построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка [x_i;x_n].График интерполяционного полинома полинома должен проходить через все заданные точки [x_i;y_i]. Обычно такой многочлен ищут в виде линейной комбинации многочленов степени n или (n-1).

L(x)=y₁l₁(x)+y₂l₂(x)……y_nl_n(x)

Такая линейная комбинация называется полиномом ЛаГранжа , где l_i(x)-полином сепени (n-1)ю Особенность полинома l_i(x): каждый многочлен l_i(x) обращается в ноль во всех узлах интерполяции, за исключением i-го узла, где он должен ровняться 1. Легко проверить, что эти условиям соответствует многочлен вида:

Степень полинома ЛаГранжа связана с числом точек, степень на 1 меньше числа точек

CLS

-ввод исходных значений

-input “введите значение аргумента, не совпадающего с узлом интерполяции”;xk

s=0

For i=1 to n

U=1: v=1

For j=1 to n

If i<>j then

U=u*(xk-x(j))

V=v*(x(i)-x(j))

Next j

S=s+y(i)*u/v

Next i

? “LAG(“xk”)=”S

End