Замена переменной в определенном интеграле

Для вычисления определенного интеграла применяют те же два метода, что и для вычисления неопределенного, то есть замену переменной и интегрирование по частям.

Пусть функция f(x)определена и непрерывна на промежутке [a,b] и функция (t) определена, непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке таком, что и . Тогда

Пример

Сделаем переменной t² = 2x - 1. Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при x= 1 t = 1, а при x = 5 t = 3 . Тогда

37.

  Несобственными интегралами называются: 1) интегралы с бесконечными пределами; 2) интегралы от неограниченных функций.    Несобственный интеграл от функции f(x) в пределах от a до +Ґ определяется равенством

   Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует, - расходящимся.    Аналогично

и

   Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка [a,b] и непрерывна при a <= x < с и с < x < b, то по определению, полагают

38.Необходимый признак сходимости числового ряда:

Если ряд  сходится, то .

 

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например,  расходится, так как . Из выполнения условия   в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда  (гармонический ряд), условие  выполнено, но данный ряд расходится.

39. Теорема Абеля.

1)Если ряд u₁+u₂+u₃+…+u_n+…(1) сходится в некоторой точке x=x₀, где х₀≠0, то этот ряд будет сходится и при всех х, удовлетворяющих условию: |х|<|х0|.

2)Если ряд (1) расходится в т. х=х₁, то этот ряд расходится при всех x: |х|>|х₁|.

Док-во.1). По усл степенной ряд а₀+а₁х₀+а₂х₀²+…+а_nх₀ⁿ+…(2) сходится, поэтому а_nх₀ⁿ →0, при n→∞. Значит, сходящаяся последовательность {а_кх₀^к} ограничена, т.е. сущ-т константа М такая, что |а_nх₀ⁿ|<M для всех n=0,1,2…

Рассмотрим |а₀|+|а₁х₀|+|а₂х₀²|+…+|а_nх₀ⁿ|+….(3)

Пусть |х|<|х0|, тогда |а_nхⁿ|=|а_nх₀ⁿ||х/х₀|<М|х/х₀|ⁿ, причем |х/х₀|<1. Поэтому члены ряда (3) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

М+М|х/х₀|+М|х/х₀|²+…+М|х/х₀|ⁿ+…- суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Поэтому ряд (3) сходится, а ряд (2) сходится абсолютно.

2)Предположим, что ряд(2) расходится при х=х₁, но для некоторого х:| х |>х₁. По первой части теоремы ряд (2) сходится абсолютно при х=х₁, следовательно получили противоречие.

40. Степенные ряды и радиус сходимости.

Теорема. Областью сходимости степ.ряда явл. интервал с центром в начале координат. Интервал сход.степ.ряда наз.такой интервал от (-R;R), что для каждой точки лежащей внутри этого интеграла ряд сходится, а для точки лежащей вне этого интеграла ряд расходится.

R- радиус сходимости степенного ряда. R=lim|a_n/a_n+1| при n→∞. На концах интеграла (х=±R)вопрос о сходимости или расходимости ряда решается индивидуально.