1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме

Если векторы заданы в координатной форме, то операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число можно заменить более простыми арифметическими операциями над координатами этих векторов по следующим правилам.

Правило 1. При сложении векторов их одноименные координаты складываются:

, ,

(1.5.1)

Правило 2. Чтобы вычесть из вектора вектор , нужно вычест координаты вектора из соответствующих координат вектора , т.е.

или (1.5.2)

Правило 3. Чтобы умножить вектор на число , нужно умножить на это число его координаты , т.е. если , то .

1.6. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число ,(обозначаемое ) равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

, (1.6.1)

где - угол между векторами и (рис.1.10).

Рис. 1.10

1.6.1. Свойства скалярного произведения:

1).

2). и перпендикулярны; (или , или )

3).

4). , где - число

5). , если

6).

Докажем свойство 6. Имеем

Замечание 1. Остальные свойства доказываются на основании определения.

Замечание 2. Свойства 1, 3, 4, 6 дают право при скалярном умножении векторных многочленов выполнять действия так же, как при умножении алгебраических многочленов.

Замечание 3. Скалярное умножение не распространяется на три и большее число векторов. Произведение, например, трех векторов не является числом, оно будет вектором, коллинеарным вектору , который получается умножением вектора на число .

1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Так как единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Oz прямоугольной системы координат взаимноперпендикулярны, то по формуле (1.6.1) получим :

, , (1.6.2.1)

Далее, используя свойство скалярного произведения имеем:

(1.6.2.2)

Пусть, , . Найдем произведение этих векторов (с учетом формул 1.6.2.1 и 1.6.2.2 ):

(1.6.2.3)

Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Из равенства (1.6.2.3) и равенства векторов получим:

(1.6.2.4)

,

т.е. квадрат длины вектора равен сумме его координат .

Из равенства (1.6.2.4) найдем длину вектора :

(1.6.2.5)

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

1.6.3. Угол между векторами

Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что

(1.6.3.1)

Если векторы и заданы координатами и , то формула (1.6.3.1) запишется в виде:

(1.6.3.2)

1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов

Как известно, необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов и является равенство:

, (1.6.4.1)

где скалярный множитель >0, если векторы и имеют одинаковые направления и <0 в противном случае.

Пусть заданны два вектора в координатной форме: и .

В этом случае из равенства (1.6.4.1) следует, что

, (1.6.4.2)

откуда (1.6.4.3)

Следовательно, если ненулевые векторы и коллинеарны, то и их одноименные координаты пропорциональны.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и является равенство:

(1.6.4.4)

или в координатной форме условие (1.6.4.4) имеет вид:

(1.6.4.5)