- •Содержание
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы 29
- •5.9. Вопросы для самопроверки 31
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки 40
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы 46
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы в евклидовом пространстве
- •1.2. Проекция вектора
- •1.3. Декартовы прямоугольные координаты
- •1.4. Координатное представление векторов
- •1.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
- •1.6. Скалярное произведение векторов
- •1.6.1. Свойства скалярного произведения:
- •1.6.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами
- •1.6.3. Угол между векторами
- •1.6.4. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов
- •1.7. Векторное произведение двух векторов
- •1.7.1. Свойства векторного произведения
- •1.7.2. Координатная форма записи векторного произведения
- •1.8. Смешанное (векторно - скалярное) произведение векторов
- •1.8.1. Свойства смешанного произведения
- •1.8.2. Координатная форма записи смешанного произведения
- •1.9. Двойное векторное произведение трех векторов
- •1.10. Вопросы для самопроверки
- •Свойства скалярного произведения.
- •Координатная форма записи векторного произведения.
- •2. Понятие об уравнениях линий и поверхностей
- •3. Прямая линия
- •3.1. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •3.2. Общее уравнение прямой на плоскости
- •3.7. Вопросы для самопроверки к разделу 3
- •4.2. Поворот осей координат
- •5. Кривые второго порядка
- •5.1. Окружность
- •5.2. Эллипс
- •5.3. Гипербола
- •5.4. Директрисы эллипса и гиперболы
- •5.5. Парабола
- •5.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах
- •5.7. Решение типовых примеров
- •5.8. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 5.8
- •5.9. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 5.9
- •Окружность.
- •6. Плоскость и прямая в пространстве
- •6.1. Общее уравнение плоскости
- •6.2. Уравнение в отрезках
- •6.3. Векторное и нормальное уравнение плоскости
- •6.4. Расстояние от точки до плоскости
- •6.5. Взаимное расположение двух плоскостей
- •6.6. Пучок плоскостей
- •6.7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
- •6.8. Уравнение прямой в пространстве
- •6.8.1. Общие уравнения прямой
- •6.8.2. Параметрические и канонические уравнения прямой
- •6.8.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •6.9. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.10. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •6.11. О решение задач аналитической геометрии на плоскость и прямую
- •6.11.1. Примеры решения типовых задач
- •6.11.2. Задачи для самостоятельного решения
- •6.11.3. Вопросы для самопроверки
- •Ответы к 6.11.2
- •Ответы к 6.11.3
- •7. Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка
- •7.1. Распадающиеся поверхности
- •7.2. Цилиндрические поверхности
- •7.3. Конусы второго порядка
- •7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды
- •7.5. Параболоиды
- •7.6. Задачи для самостоятельной работы
- •Ответы к 7.6
- •Контрольное задание
- •Контрольные вопросы
- •7. Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов.
- •Ответы к контрольному заданию
- •Литература
5.8. Задачи для самостоятельной работы
Исследовать какие линии определяются уравнениями:
а) 2x2+2y2+6x-3y-8=0
в) x2+y2-2y+1=0
с) x2+y2+2x+10=0
Выразить через эксцентриситет полуоси эллипса.
Дано уравнение эллипса x2+16y2=16. Найти длину его осей, координаты фокусов и эксцентриситет.
Написать каноническое уравнение гиперболы и уравнения ее асимптот по данной полуоси b=5 и эксцентриситету .
Найти координаты фокуса и уравнения директрисы параболы y2=5x.
Исследовать кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду: 4x2+y2-8x+2y-11=0.
Даны координаты вершин треугольника АВС: (0,0), (2,2), (-2,2). Точка М движется так, что сумма квадратов ее расстояний от трех сторон треугольника остается все время постоянной, равной 16. Найти траекторию точки М.
Эллипс касается оси абсцисс в точке А(7,0) и оси ординат в точке В(0,4). Составить уравнение эллипса, если известно, что оси его параллельны осям координат.
Написать уравнения двух сопряженных гипербол зная, что расстояние между директрисами первой из них равно 7,2 и расстояние между директрисами второй равно 12,8.
Указание: Директрисами гиперболы называются прямые, перпендикулярные к фокальной (действительной) оси и отстоящие от центра на расстоянии . Их уравнения .
10 Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, отсекающей на оси абсцисс отрезки а и на оси ординат отрезок равный b.
11. Относительно некоторой системы координат точка А имеет координаты x=7, y=-5. Вычислить координаты этой же точки при условии, что начало координат перенесено в точку О(3,-5).
Ответы к 5.8
а) Окружность с центром в точке С и R= ;
Решение: 2x2 + 2y2 + 6x - 3y - 8 = 0 x2 + y2 + 3x- y - 4 = 0
в) Точка С(0,1);
с) Никакой линии не определяет, так как не существует ни одной пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению.
F1(- ), F1( ); 2а=8; 2в=2; .
; ;
; .
. (1,-1) – координаты центра а = 2, b = 4.
Эллипс с центром в точке (0,1) и с полуосями и , направленными параллельно осям координат.
(4;0).
5.9. Вопросы для самопроверки
Как преобразуются координаты любой точки М(x,y), если:
а) оставить ось абсцисс без изменения, переменить направление на оси ординат;
б) за ось абсцисс принять прежнюю ось ординат и за ось ординат - прежнюю ось абсцисс ?
Как нужно изменить систему координат, чтобы одновременно абсциссы всех точек уменьшились на три единицы, а ординаты увеличились на три единицы ?
Какую форму принимает эллипс, если =0.
Какую форму принимает эллипс, если =1
Равносторонняя гипербола имеет вид . Записать уравнения асимптот. Найдите угол между этими асимптотами.
Зависит ли форма гиперболы от угла наклона асимптоты к вещественной оси, т.е. от величины отношения , если да, то как ?
Найти координаты фокусов и уравнения директрис уравнений парабол: y2 = -2px и x2 = -2py.
Эллипс с полуосями а и в перемещен так, что центр его совпал с точкой с(x1,y1), а оси остались параллельными осям координат. Какое уравнение изображает эллипс в этом новом положении ?
Какими особенностями должно обладать уравнение Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, чтобы соответствующая кривая была параболой:
а) с осью, параллельной оси абсцисс;
б) с осью, параллельной оси ординат ?