1.Понятие множества. Виды множеств. Основное отношение между элементом и множеством. Способы задания множеств.

Мно́жество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики. Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M).Сформулировал Георг Кантор. Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты. В связи с парадоксом Рассела данное понятие трактуется в настоящее время как «множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче».

Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

пересечение:

объединение:

Если множества A и B не пересекаются:  , то их объединение обозначают также:  .

разность:

симметрическая разность:

Декартово или прямое произведение:

Введем несколько операций над множествами.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: М N = {х|х М и х N}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: M N = {х | х М или х N}.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | х М и х N}.

г) Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N.

Обозначение: M N ={ x | (x М и х N) или (х N и х М)}.

Итак, множества можно задавать двумя способами:

Перечислением элементов множества;

Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы.

2.Подмножества. Примеры подмножеств. Отношение равенства между множествами. Отношение включения между множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Мощность множества. Булеан и его мощность. Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества. Если любой элемент множества A является элементом другого множества B, то говорят, что A есть подмножество множества B, и пишут: A   B. Например, множество всех натуральных чисел является подмножеством всех действительных чисел . Множества А и В равны если они состоят из одних и тех же элементов. Множество А называют подмножеством множества В если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В Множество А является собственным подмножеством множества В

когда множество А является подмножеством множества В и не совпадает с В.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств. Мощность множества, или кардинальное число множества, — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Множество всех подмножеств данного множества называют булеаном множества.