Властивості матриці інцидентності

- кожний стовпець матриці інцидентності обов’язково містить два одиничних елемента (для орграфа вони мають різні знаки);

- кількість одиниць в рядку дорівнює степені відповідної вершини (для орграфа - кількість одиниць зі знаком «+» визначає позитивну напівстепінь, кількість одиниць зі знаком «-» – негативну напівстепінь;

- нульовий рядок відповідає ізольованій вершині;

- нульовий стовпчик відповідає петлі.

Суміжність. Задання графа за допомогою матриці суміжності.

Матриця суміжності графа — це квадратна матриця A= , стовпцям і рядкам якої відповідають вершини графа. Для неорієнтованого графа a_ij дорівнює кількості ребер, інцидентних i-та j -й вершинам, для орієнтованого графа цей елемент матриці суміжності відповідає кількості ребер з початком в і-й вершині й кінцем j -й. Таким чином, матриця суміжності неорієнтова­ного графа є симетричною (a_ij = a_ji), а орієнтованого — необов'язково. Якщо вона все ж симетрична, то для кожного ребра орієнтованого графа існує ребро, яке з'єднує ті самі вершини, але йде у зворотному напрямку. Очевидно, орієнтований граф із симетричною матрицею суміжності канонічно відповідає неорієнтованому графу, що має ту саму матрицю суміжності.

Таблиця 2.

	v1 v2 v3 v4 v5
v1 v2 v3 v4 v5

Властивості матриці суміжності

- матриця суміжності не орієнтованого графа завжди симетрична до головної діагоналі.;

- елементи на головній діагоналі завжди дорівнює 0, тільки коли є петля тоді елементи на головній діагоналі дорівнює 1;

- матриця суміжності орієнтованого графа в загальному випадку не симетрична відносно головної діагоналі;

- в стовпчиках або рядках, відповідних ізольованим вершинам, усі елементи дорівнюють 0.

Локальні степені вершин графа

Якщо задано матриці суміжності А або інцидентності S графа, то можна визначити локальні степені всіх його вершин. Справді, в j-му стовпці матриці інцидентності, що відповідає вершині v_j одиниці зна­ходяться на перетині з рядками, яким відповідають інцидентні цій вершині ребра, а інші елементи стовпця дорівнюють 0. Отже,

 (v_i) = .

Елементи ж a_ij матриці суміжності — це кількість ребер, інцидентних вершинам v_t і v_j. Звідси

 (v_j) = .

При підрахунку степенів вершин за цими формулами кожна петля вно­сить у степінь інцидентної їй вершини 1. Проте при зображенні петлі на рисунку до цієї вершини примикають два кінці петлі, тобто петля вно­сить у цей степінь 2. Щоб таким чином ураховувати внесок петель у степінь, треба трохи ускладнити формули для його обчислення. Через ко­ефіцієнти матриці інцидентності степінь можна розрахувати, наприклад, за формулою

`(v_j) = . Коли і -те ребро звичайне, ,

і відповідний доданок зовнішньої суми дорівнює s_ij, тобто 1 для ребер, інцидентних вершині v_j,, та 0 для інших. Якщо ж воно є петлею, то =1, а доданок зовнішньої суми дорівнює 2s_ij , тобто 2 для петель, Інцидентних вершині v_j , та 0 для інших.

Це саме значення степеня визначається через коефіцієнти a_ij матриці

суміжності графа G за формулою

p'(v_ij ) = .

Залежно від задачі, що розглядається, може бути потрібен той чи інший спосіб визначення степеня вершини. Тому в кожному випадку має бути відомо, чи є петля один раз або двічі інцидентною своїй вершині.

Оскільки кожне ребро має два кінці, в сумі ребра врахову-

ються двічі. Таким чином, ця сума дорівнює подвоєному числу ребер гра­фа, тобто є парною. Отже, парна також кількість непарних доданків цієї суми, тобто кількість вершин непарного степеня.

Означення. Граф називається однорідним степеня k, якщо степені всіх його вершин дорівнюють k і, отже, є рівними між: собою.

Якщо однорідний граф степеня k має п вершин та т ребер, то

m = .

Означення . Звичайний граф називається повним, якщо кожна пара

його вершин сполучається ребром.

У звичайного повного графа Р_п на п вершинах степені всіх вершин однакові й дорівнюють п - 1.

Степінь ізольованої вершини  (v_i) = 0. Вершина зі степеню  (v_i) = 1 називається кінцевою чи висячою вершиною.

Локальні степені вершин орієнтованих графів

Для вершин орієнтованого графа визначаються два локальних степе­ня: ₁ (v) - кількість ребер із початком у вершині v, або, інакше, кількість ребер, які виходять із v, і ₂ (v) — кількість ребер, що входять у ребра v, тобто ребер, для яких ця вершина є кінцем. Петля дає внесок 1 в обидва ці степені. Локальні степені вершин орієнтованого графа визначаються через коефіцієнти a_ij його матриці суміжності:

₁ (v_i ) = , ₂ (v_i ) = .

Вираз їх через коефіцієнти матриці інцидентності — значно складніший. Оскільки кожне ребро орієнтованого графа G має один початок й один

кінець, суми ₁ (v) і ₂ (v) дорівнюють кількості ребер цього графа, а отже, є рівними між собою. Звідси випливає, що в однорідному орі­єнтованому графі степеня k з п вершинами й т ребрами

m =

8