Метод виключення.

Рівняння АХ = 1 можемо вирішити відносно Х = А^-1 перетворенням матриці А до одиничної при умові рівності її лівої та правої частин. Розділимо елементи першого рядка матриці А на а₁₁ і прибавимо до решти рядків цей рядок, помножену на - а_і1 (і = 2, 3, ..., n). В результаті отримаємо a^’₁₁= 1, а решта елементів першого стовпця обернуться в нуль. Далі другий рядок поділимо на нове значення a^’₂₂ і додамо до решти рядків цей рядок , помножений на нове значення (і = 2,3,...,n). В результаті отримаємо , а решта елементів другого стовпця дорівнюють нулю. Через n таких кроків матриця А перетвориться на одиничну матрицю.

Над рядками одиничної матриці у першій частині рівняння у процесі його перетворення необхідно виконати ті ж операції, що і над рядками розширеної матриці [A, 1] та вибираючи в якості опорних елементів діагональні елементи матриці А.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь та методи їх розв’язання.

Поведінка великої кількості об’єктів зовнішнього світу задовільно описується системою лінійних алгебраїчних рівнянь.

Розв’язування систем лінійних рівнянь – це одна з головних задач обчислювальної математики. Вона грає важливу роль у прикладних методах математичної статистики, економіки, міжнародних відносинах та в багатьох інших направленнях.

У загальному випадку система лінійних алгебраїчних рівнянь має вигляд

a_x₁ + a₁₂x₂ +….+ a₁n_xn = b₁

a₂₁x₂ + a₂₂x₂ +….+ a₂n_xn = b₂

……………………………… (1)

a_mx₁ + a_m2x₂ +….+ a_mnx_n = b_m

Де x₁, x₂,… ,x_n - невідомі, що потрібно знайти;

a₁₁, a₁₂,…,a_mn – задані дійсні числа.

Задані числа a_ij називають коефіцієнтами системи ( i = , j = ).

Кожному коефіцієнту приписані індекси. Перший індекс вказує номер рівняння, у якому знаходиться даний коефіцієнт, а другий індекс – номер невідомого, перед яким цей коефіцієнт стоїть.

Числа b₁, b₂,...,b_m – називаються вільними членами системи (i = ), вони вважаються відомими.

Необхідно відзначити, що для будь-якої системи можливі тільки три випадки:

• система не має жодного розв’язку;

• система має єдиний розв’язок;

• система має нескінчену множину розв’язків.

Коефіцієнти при невідомих системи рівнянь, що записані у вигляді матриці А:

,

називають матрицею коефіцієнтів системи.

Якщо кількість рівнянь системи m дорівнює кількості невідомих n, то система має квадратну матрицю А порядку n. У такому випадку визначник  = det A називаються визначником системи.

Вільні члени системи, що записані у вигляді матриці-стовпця В:

B = ,

називаються вектором-стовпцем вільних членів.

Невідомі системи x₁, x₂,… ,x_n, що записані у вигляді матриці-стовпця Х:

X = ,

називаються вектором-стовпцем невідомих.

Матриця коефіцієнтів системи, доповнена справа вектором-стовпцем вільних членів, називається розширеною матрицею коефіцієнтів системи.

Така матриця має вигляд:

.

Система може бути записана у матричній формі A  Х = В

A = A _mxn , Х = X _nx1 , В = B _mx1 .

Якщо всі вільні члени b₁, b₂,..,b_m дорівнюють 0, то система називається однорідною, а якщо серед них є хоча б один не нульовий член, то система називається неоднорідною.