7. Вычисление поверхностного интеграла 2-города.

S: z= φ(x,y)-непрер диффир в Ъ тогда z- φ(x,y)=0

F(x,y,z)=0 grad(F(x,y,z))= (ðF/ ðx)i-(ðF/ ðy)j+(ðF/ ðz)k=-(ðφ / ðx)i-(ðφ/ ðy)j+1k≠0=> grad направлен по нормали поверхности

n(M)=gradF(M)/| gradF(M)|=(-φ_xi—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)

Найдём ∫∫_sPdydz+Qdxdz+Rdxdy по поверхности,которую определяет n(m). ∫∫_sPdydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫_s(Ф,—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)ds=∫∫_ъ(Ф,—φ_yi+k)/(√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)* (√ (φ’_x)²+(φ’_y)²+1)dxdy =∫∫_ъ[(-P* φ’_x – Q*φ’_y+R)]dxdy=∫∫_S Pdydz +Qdxdz +Rdxdy

8.Дивергенция векторного поля, Формула Остроградского-Гаусса. Пример.

Дивергенция поля Ф (div Ф) = ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz.если div Ф=0,то Ф –соиедальное поле=>в D нет источников и стоков. Формула О-Г: ] V-компакт cR³,граница v=S-гладкая или кусочно гладкая(т.е S можно разбить на конечное число поверхностей, каждая из которых гладкая),на S выбрано внешнее направление нормали, Ф(x,y,z)=Pi+Qj+Rk- непрерыв.диффир=> ∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_v[ðP/ðx+ðQ/ðy+ðR/ðz]dv, ∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_vdivФdxdydz.

Пример: Ф(x,y,z)=-yi+(y-2z)j+(2x-z)k. п=∫∫_s(Ф,n)ds=∫∫∫_vdivФdxdydz=∫∫∫v0dxdydz=0.divФ=0

9.Ротор векторного поля, формула Стокса.

] Ф в D и непрерыв-диффирен,тогда ∫_LPdx+Qdy+Rdz=∫∫_s(rotФ,n)ds.На L выбрано + направление обхода.

Опред-е: Ротером векторного поля Ф (rotФ) наз-ся функция: | i j k |

Ф = | ð/ðx ð/ðy ð/ðz| =

| P Q R |

= i(ðR/ðy- ðQ/ðz) – j(ðR/ðx- ðP/ðz) + k(ðQ/ðx - ðP/ðy)

10. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Примеры. Необходимое условие

сходимости (док).

] a₁, a₂… a_n –последов-ть чисел _n=1Σ^∞ a_n = a₁+ a₂+… +a_n (1) – ряд из a_n

S_n = a₁+ a₂+… +a_n – полная частная сумма ряда (1)

Если существует lim_n→∞ S_n= S –то ряд (1) наз-ся сходящимся и S = _n=1Σ^∞ a_n

Если не существует lim_n→∞ S_n= S –то ряд (1) наз-ся расходящимся и у него нет суммы.

Пример: S_n=1+1+…1 = n lim_n→∞ S_n= lim_n→∞n=∞=>расходится

S_n=0+0+…0 = 0 lim_n→∞ S_n= lim_n→∞0=0=>сходится

Необходимое условие

Сходимости:а_n→0.Док-во:рассмотрим S_n- S_n-1=(а₁+….+а_n)-( а₁+….+а_n-1)= а_n lim_n→∞а_n= lim_n→∞( S_n- S_n-1)= lim_n→∞S_n-lim_n→∞S_n-1=S-lim_m→∞S_m=S-S=0

11.Свойства числовых рядов (док).

1)если (1) сх-ся,0не=к=const,то сх-ся (2) _n=1Σ^∞ a_n*к=k*a₁+ k*a₂+ k*a_n,S= _n=1Σ^∞ a_n

Док-во Ъ_n –частная сумма ряда (2)

Ъ_n = k*a₁+ k*a₂+…+ k*a_n = k*(a_1… a_n) = k*S_n lim_n→∞(k*S_n) = k*( lim_n→∞(S_n) = k*S=>(2) –сх-ся

_n=1Σ^∞ (k*a_n) = k*_n=1Σ^∞ (a_n)

Сх-ся (2) <=> Сх-ся (1)

2)(1) cх-ся и сх-ся _n=1Σ^∞ b_n (3) =>сх-ся _n=1Σ^{∞ (}a_n+b_n) (4)

3)Если (5) отличается от (1) на конечное число слагаемых, то (5) сх-ся  (1),т.е если к (1) добавить конеч число слагаемых или убрать,то это не повлияет на сходимость

12.Признаки сходимости знакоположительных рядов (1 доказать). Пример. знакоположительный ряд – если а_n>0.

1)Первый признак сравнения:] (1) и (2)-знакоположительны и a_n<=b_n, из сх-ти (2)=> сх-ть (1) и также расходимость

2)Второй признак сравнения.Если (1) и (2)- знакополож и существует lim_n→∞ (a_n/b_n)не=0,то (1)-сх-ся  (2) сх-ся

3)Признак Даламбера. Если существует lim_n→∞ (a_n+1/a_n)=S для ряда (1) и S=<1 –cх-ся или >1→рас-ся.Если S = 1,то признак не даёт ответа.

4)Радикальный признак Коши.Если (1)-знакоположит и сущ lim_n→∞ⁿ√a_n=S.S= <1 –cx или >1 pacх