Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть в области D на плоскости (z) задана аналитическая функция т.е. u(x,y) и v(x,y) – гармоническая пара. Зададим определенное значение . Этому значению соответствует определенное значение Следовательно, каждой точке z = (x,y) на плоскости (Oxy) соответствует определенная точка ω = (u,v) на плоскости (Оuv) и наоборот, т.е. задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости (ω) посредством аналитической функции или, что тоже самое, посредством гармонической пары.

Т. Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан I 0.

Геометрический смысл аргумента производной: – аргумент производной функции в точке Z₀ геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке Z₀ к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω₀ к образу этой кривой Г^/. Геометрический смысл модуля производной: - модуль производной функции в точке Z₀ геометрически равен коэффициенту растяжения в точке Z₀ при отображении ω = f(z).

Линейная функция

a, b , т.е. . Так как , то имеем, что . Следовательно, , .

1) – аналитическая функция, т.е. u и v – гармоническая пара, т.к. выполняются условия КРЭДа: , .

2) для всех z .

Из 1) и 2) следует, что отображение, реализуемое линейной функцией, конформно на всей плоскости Гаусса. Вывод:

Отображение, осуществляемое линейной функцией, представляет собой композицию растяжения , поворота и параллельного переноса

Простейшая дробно-линейная функция

– аналитическая функция, т.к. выполняются условия КРЭДа. ни при каком конечном z (лишь при ). Следовательно, производная существует всюду, кроме z = 0.

Отображение, реализуемое функцией, конформно всюду на (z), кроме точки z = 0 и бесконечно удаленной точки . Если положить , то отображение будет конформно во всей плоскости (z). При этом угол между прямыми в точке О отображается на такой же угол в бесконечно удаленной точке .

О. Преобразование, переводящее внутренность единичного круга во внешность и наоборот, называется инверсией.

Вывод: При отображении, реализуемом функцией , происходит инверсия: внутренность единичного круга отображается в его внешность и наоборот, при одновременном симметрическом отображении относительно оси (Ох).

Степенная функция

, z ≥ 2. – аналитическая функция на всей плоскости Гаусса: кроме z = 0. Следовательно, отображение, задаваемое функцией конформно всюду, кроме начала координат.

Запишем комплексное число z тригонометрической форме . Тогда (формула Муавра).

У степенной функций сектор раствором плоскости (z) конформно отображается на всю плоскость ( ).