Дифференцируемость. Условие Коши-Римана

О. Функция ω = f(z) = u (x,y) + iv(x,y) называется дифференцируемой в точке z, если ее приращение можно записать в виде ∆ω = ∆f(z) = A∆x - B∆y + i(A∆y+B∆x) +α∆x - β∆y +

+ (α∆y + β∆x), где А и В не зависят от ∆x и ∆y, а α→0, β→0 при ∆x→0, ∆y→0.

Т. Для того чтобы функция ω = f (z) была дифференцируемой в точке z необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную f ’(z) = A+ iB.

О. Если ω = f (z) имеет производную в точке z, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D плоскости Гаусса, называется дифференцируемой в области D.

Т. Дифференцируемая функция ω = f (z) в точке z (или в области D) непрерывна в этой точке (или области).

Теорема. Для того чтобы функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y), определенная в некоторой области D, была дифференцируемой в точке z этой области необходимо и достаточно, чтобы в этой области существовали непрерывные частные производные функций u(x,y) и v(x,y), и выполнялись условия , , называемые условиями Коши - Римана или Эйлера – Даламбера, кратко, условиями КРЭДа.

Следствие. Так как производная дифференцируемой функции комплексного переменного равна f ’(z) = A+ iB (по теореме 2), где A= ,B= , то она может быть найдена по одной из формул:

f ’(z) = , f ’(z) = , f ’(z) = , f ’(z) = .

Гармонические функции. Гармонические пары.

О. Функция u = u(x,y) называется гармонической, если ее лапласиан равен нулю: . О. Две сопряженные гармонические функции u(x,y) и v(x,y) называются гармонической парой.

О. Гармонические в области D функции u(x,y) и v(x,y) называются сопряженными гармоническими в области , если для их частных производных в области D₁ выполняются условия КРЭДа

Определение и св-ва аналитических функций

О. (первое определение аналитической функции) Функция ω = f(z), дифференцируемая в каждой точке z области D и имеющая в этой области непрерывную производную f '(z), называется аналитической в области D.

Некоторые свойства аналитических функций.

1. Функция, аналитическая в точке, имеет в этой точке производные любого порядка, которые являются непрерывными в этой точке. Аналитическая в области D функция дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна в этой области.

2. Сумма, разность, произведение и частное (если делитель не равен нулю) двух аналитических в области D функций – аналитическая функция в D.

3. Если ω = f(z) – аналитическая функция в замкнутой области D, ограниченной контуром L, то ее значения внутри области D однозначно определяются ее значениями на контуре L. Если две аналитические в области D функции имеют на контуре L одни и те же значения, то они тождественны во всей области D.

4. (Теорема Дзядыка В.К.) Если ω = f(z) = u(x,y) +i v(x,y) – аналитическая в области D функция, то площади поверхностей z = u(x,y), z = v(x,y), z = |f(z)| = , расположенных в трехмерном пространстве (Oxyz) над любой частью области D, равны.

5. Максимум модуля аналитической в области D функции не может располагаться во внутренней точке области D.

6. Пусть ω = f(z) – аналитическая в области D функция с областью значений G = и пусть обратная к ней функция аналитична в области G. Тогда сложная функция φ(f(z)) – аналитична в области G.