1.6 Компьютерная геометрия и графика

1. Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

            Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

                                                

            Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

            На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х₁ ¹ х₂  и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

 Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

            Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

 уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

            По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

            Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

 Нормальное уравнение прямой

   Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 – нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

 Угол между прямыми на плоскости

            Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = lА,  В₁ = lВ. Если еще и С₁ = lС, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

            Определение. Прямая, проходящая через точку М₁(х₁, у₁) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением:

       

2. Общее уравнение плоскости имеет вид

.

Построение плоскости означает определение параметров . Все другие виды уравнения плоскости легко получить из общего уравнения.

Рассмотрим простейший способ вычисления параметров .

Пусть заданы точка , лежащая на искомой плоскости, и вектор , ортогональный искомой плоскости.

Для поиска параметров воспользуемся тем, что вектор ортогонален любому вектору , лежащей на искомой плоскости.

Из условия ортогональности векторов (их скалярное произведение равно нулю: ) получаем:

Здесь .

Нормированное уравнение плоскости

из общего уравнения получается путем замен

.

Знак μ выбирается противоположным знаку D.

Здесь (α, β, γ) – направляющие углы вектора, перпендикулярного искомой плоскости (этот вектор направлен от начала координат в сторону плоскости), и p – расстояние от начала координат до плоскости.

Так же легко получить уравнение плоскости в отрезках, если известны три отрезка , отсекаемые плоскостью на осях координат:

.

Это уравнение легко можно получить и из общего уравнения, приняв:

a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.

Рассмотрим более сложные в смысле расчетов построения плоскости.

Известна аксиома – через три разные точки , и можно построить единственную плоскость.

Есть разные способы построения этой плоскости.

Способ 1. Векторы и параллельны искомой плоскости. Их векторное произведение ортогонально искомой плоскости.

Тогда получили задачу построения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Это построение рассмотрено выше.

Способ 2. Использовать компланарность векторов , и :

.

Раскрыв этот определитель, можно получить общее уравнение плоскости:

Здесь

,

,

,

Условие компланарности является универсальным методом построения плоскости при различных исходных данных.

3. Понятие пространственной прямой связано с понятием плоскости. Например, прямой является линия пересечения двух плоскостей (аксиома стереометрии). Рассмотрим способы описания прямой.

Способ 1. Общее уравнение прямой представляет собой систему из двух уравнений пересекающихся плоскостей:

Способ 2. Через точку можно построить прямую параллельно некоторому вектору . В этом случае уравнение называется каноническим и имеет вид:

и является условием коллинеарности двух векторов:

Если направляющий вектор перпендикулярен какой-либо координатной оси, то соответствующая координата вектора равна нулю. Запись канонического уравнения является символической, и деление на ноль не требуется.

Началом вектора является известная по условию точка искомой прямой L, а концом - произвольная точка этой прямой.

По этому же способу можно построить каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и . Для этого в предыдущем построении достаточно принять или, что то же самое, . В итоге получим:

.

Переход от общих уравнений к каноническим требует некоторого усилия. Рассмотрим идею такого перехода. Параметры системы уравнений

представляют собой два вектора и , перпендикулярных к обеим плоскостям. Очевидно, что векторы и перпендикулярны и прямой, лежащей на пересечении этих плоскостей. Найдем вектор , который перпендикулярен векторам и . Самый простой способ – это построить их векторное произведение :

Отсюда вытекает:

.

Найдем точку , через которую проходит прямая. Очевидно, что эта точка должна лежать на пересечении плоскостей. Поэтому запишем:

Для определения трех неизвестных имеем всего два уравнения. Здесь можно поступить следующим простым способом.

1. Принять и решить систему

Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 2.

2. Принять и решить систему

Если решение существует, то точка найдена. Иначе, переходим в пункт 3.

3. Принять и решить систему

Если решение существует, то точка найдена. Иначе, искомая прямая не существует, например, исходные плоскости не пересекаются.

Из канонического уравнения можно получить параметрическое уравнение прямой, приравнивая каждую дробь в отдельности некоему параметру t. Затем из этих трех равенств выражают координаты (x,y,z) точек описываемой прямой: