15) Вес и невесомость

Силу тяжести   с которой тела притягиваются к Земле, нужно отличать от веса тела. Понятие веса широко используется в повседневной жизни.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес. При этом предполагается, что телонеподвижно относительно опоры или подвеса. Пусть тело лежит на неподвижном относительно Земли горизонтальном столе (рис. 1.11.1). Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. На тело действуют сила тяжести   направленная вертикально вниз, и сила упругости   с которой опора действует на тело. Силу   называют силой нормального давления или силой реакции опоры. Силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга:   В соответствии с третьим законом Ньютона тело действует на опору с некоторой силой   равной по модулю силе реакции опоры и направленной в противоположную сторону:   По определению, сила   и называется весом тела. Из приведенных выше соотношений видно, что   т. е. вес тела   равен силе тяжести   Но эти силы приложены к разным телам!

Рисунок 1.11.1. Вес тела и сила тяжести.   – сила тяжести,   – сила реакции опоры,   – сила давления тела на опору (вес тела).

Если тело неподвижно висит на пружине, то роль силы реакции опоры (подвеса) играет упругая силы пружины. По растяжению пружины можно определить вес тела и равную ему силу притяжения тела Землей. Для определения веса тела можно использовать также рычажные весы, сравнивая вес данного тела с весом гирь на равноплечем рычаге. Приводя в равновесие рычажные весы путем уравнивая веса тела суммарным весом гирь, мы одновременно достигаем равенства массы тела суммарной массе гирь, независимо от значения ускорения свободного падения в данной точке земной поверхности. Например, при подъеме в горы на высоту 1 км показания пружинных весов изменяются на 0,0003 от своего значения на уровне моря. При этом равновесие рычажных весов сохраняется. Поэтому рычажные весы являются прибором для определения массы тела путем сравнения с массой гирь (эталонов).

Рассмотрим теперь случай, когда тело лежит на опоре (или подвешено на пружине) в кабине лифта, движущейся с некоторым ускорением   относительно Земли. Система отсчета, связанная с лифтом, не является инерциальной. На тело по-прежнему действуют сила тяжести   и сила реакции опоры   но теперь эти силы не уравновешивают друг друга. По второму закону Ньютона 

Сила   действующая на опору со стороны тела, которую и называют весом тела, по третьему закону Ньютона равна   Следовательно, вес тела в ускоренно движущемся лифте есть 

Пусть вектор ускорения   направлен по вертикали (вниз или вверх). Если координатную ось OY направить вертикально вниз, то векторное уравнение для  можно переписать в скалярной форме: 

P = m(g – a).

(*)

В этой формуле величины P, g и a следует рассматривать как проекции векторов  ,   и   на ось OY. Так как эта ось направлена вертикально вниз, g = const > 0, а величины P и a могут быть как положительными, так и отрицательными. Пусть, для определенности, вектор ускорения   направлен вертикально вниз, тогда a > 0(рис. 1.11.2).

Рисунок 1.11.2. Вес тела в ускоренно движущемся лифте. Вектор ускорения   направлен вертикально вниз. 1) a < g, P < mg; 2) a = g, P = 0 (невесомость); 3) a > g,P < 0

Из формулы (*) видно, что если a < g, то вес тела P в ускоренно движущемся лифте меньше силы тяжести. Если a > g, то вес тела изменяет знак. Это означает, что тело прижимается не к полу, а к потолку кабины лифта («отрицательный» вес). Наконец, если a = g, то P = 0. Тело свободно падает на Землю вместе с кабиной. Такое состояние называется невесомостью. Оно возникает, например, в кабине космического корабля при его движении по орбите при выключенными реактивных двигателями.

Если вектор ускорения   направлен вертикально вверх (рис. 1.11.3), то a < 0 и, следовательно, вес тела всегда будет превышать по модулю силу тяжести. Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называют перегрузкой. Действие перегрузки испытывают космонавты, как при взлете космической ракеты, так и на участке торможения при входе корабля в плотные слои атмосферы. Большие перегрузки испытывают летчики при выполнении фигур высшего пилотажа, особенно на сверхзвуковых самолетах.

Рисунок 1.11.3. Вес тела в ускоренно движущемся лифте. Векторускорения   направлен вертикально вверх. Вес тела приблизительно в два раза превышает по модулю силу тяжести (двукратная перегрузка)

16) Космические скорости

        первая, вторая, третья, критические значения скорости космического аппарата в момент выхода его на орбиту (т. е. в момент прекращения работы двигателей ракеты-носителя) в гравитационном поле. Каждая К. с. вычисляется по определённым формулам и может быть физически интерпретирована как минимальная начальная скорость, при которой космический аппарат, запускаемый с Земли, может или стать искусственным спутником (первая К. с.), или выйти из сферы действия тяготения Земли (вторая К. с.), или покинуть Солнечную систему, преодолев притяжение Солнца (третья К. с.). В литературе встречаются 2 варианта математического определений К. с. В одном из вариантов К. с. может быть вычислена для любой высоты над земной поверхностью или любого расстояния от центра Земли.

         Первая К. с. υ_I на расстоянии r or центра Земли определяется по формуле   где f — постоянная тяготения, М — масса Земли. Принимается (см. Фундаментальные астрономические постоянные) fM = 398603 км³/сек². В небесной механике эта скорость называется также круговой скоростью, т. к. в задаче двух тел движение по кругу радиуса r тела с массой m вокруг др. тела, обладающего несравнимо большей массой М (при М >> m), происходит именно с такой скоростью.

         Если в момент выхода на орбиту космический аппарат имеет скорость υ₀ = υ_I, перпендикулярную направлению на центр Земли, то его орбита (при отсутствии возмущений) будет круговой. При υ₀ < υ_I, орбита имеет форму эллипса, причём точка выхода на орбиту расположена в апогее. Если эта точка находится на высоте около 160 км, то сразу же после момента выхода на орбиту спутник попадает в лежащие ниже плотные слои атмосферы и сгорает. Т. о., для указанной высоты первая К. с. является минимальной для того, чтобы космический аппарат стал спутником Земли. На больших высотах космический аппарат может стать спутником и при υ₀, несколько меньших υ_I, вычисленной для этой высоты. Так, на высоте 300 км космическому аппарату для этого достаточно иметь скорость на 45 м/сек меньшую, чем υ_I.

         Вторая К. с. υ_II на расстоянии r от центра Земли определяется по формуле  υ₀ = υ_II, тело с массой m в задаче двух тел будет двигаться относительно тела с массой М (при М >>m) по параболической орбите и удалится сколь угодно далеко, освобождаясь, в известном смысле, от гравитационного воздействиям. Скорости, меньшие параболической, называются эллиптическими, а большие — гиперболическими, т. к. при таких начальных скоростях движение в задаче двух тел с массами m и М (при М >> m) происходит по эллиптической или гиперболической орбитам соответственно.

17) Идеальная жидкость, воображаемая жидкость, лишённая вязкости и теплопроводности. В И. ж. отсутствует внутреннее трение, то есть нет касательных напряжений между двумя соседними слоями. Такая идеализация допустима во многих случаях течения, рассматриваемых гидроаэромеханикой, и даёт хорошее описание реальных течений жидкостей и газов на достаточном удалении от омываемых твёрдых поверхностей и поверхностей раздела с неподвижной средой. Математическое описание течений И. ж. позволяет найти теоретическое решение ряда задач о движении жидкостей и газов в каналах различной формы, при истечении струй и при обтекании тел

Линией тока называется линия, проведенная в области течения так, что касательная в каждой ее точке совпадает по направлению с вектором скорости жидкости в этой точке.

В стационарном потоке линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости.

 Если через каждую точку некоторого замкнутого контура C в области течения провести линии тока, то они образуют поверхность тока, а часть жидкости, ограниченная этой поверхностью, называется трубкой тока или струйкой. Основное свойство трубки тока: ее боковая поверхность непроницаема для жидкости.

Поверхность S, проходящая через контур С, называется поперечным сечением струйки. Если все линии тока рассматриваемой струйки нормальны к поверхности S, то такое сечение называется нормальным (или живым) сечением: в каждой его точке соблюдается условие   ^ пов.S.

Расходом (секундным массовым расходом) жидкости через некоторую поверхность S в области течения, называется масса жидкости, протекающая сквозь эту поверхность в единицу времени:

,                                     (5.1)

где n–орт нормали к поверхности S, q = (V, n) – угол между векторами  V  и  n,  Vn= V cosq – проекция скорости жидкости Vна нормаль n.

Для случая однородного распределения параметров потока, когда на поверхности S  r=const, V= const, q= const,  выражение (5.1) упрощается:

,                                                  (5.2)

где  S – площадь поверхности  S.

Выражение (5.2) обычно применяется для элементарной струйки. Элементарная струйка – это струйка, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее нормальном сечении параметры потока: V, p, r,..., – постоянны. Таким образом, движение жидкости в струйке рассматривается как одномерное. Для определения расхода жидкости в струйке в качестве поверхности S обычно берется ее нормальное поперечное сечение; тогда, очевидно, q=0 и из (5.2) получается

Трубка тока в гидромеханике, трубка, составленная из линий тока, проходящих через точки небольшого замкнутого контура внутри движущейся жидкости. Касательные к линиям тока совпадают с направлением скоростей движения частиц жидкости, находящихся на этих линиях. При неустановившемся движении жидкости линии тока меняются от момента к моменту, и поэтому Трубка тока тоже меняет свою форму. При установившемся движении жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц и остаются неизменными; в этом случае Трубка тока сходна с трубкой с твёрдыми стенками, внутри которой происходит течение жидкости с постоянным расходом через сечение трубки. Если плотность постоянная, то Трубка тока будут сужаться или расширяться в зависимости от того, будет ли скорость увеличиваться или уменьшаться. Такое поведение Трубка тока имеет место и при переменной плотности (то есть для газа), но только до тех пор, пока скорость установившегося течения газа не превысит местную скорость звука; после этого дальнейшее возрастание скорости течения газа сопровождается не сужением Трубка тока, а её расширением.