42. Синусоидальные (гармонические) волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость. Энергия волны.

Гармонические волны в твердых, жидких и газообразных средах возникают вследствие гармонических или синусоидальных колебаний источника (излучателя) волн. Колебания частиц среды в гармонических волнах также являются синусоидальными с одинаковыми циклическими частотами.

Расстояние между двумя точками, находящимися в одинаковом колебательном состоянии, называется длиной волны. Длина волны λ соответствует одному периоду Т.

Такая же форма синусоидального колебания получается в том случае, когда отдельные частицы упругой среды вводятся из положения равновесия. Эти частицы влияют на соседние и также приводят их в колебание. Но колебания каждой последующей частицы начинаются несколько позже. Эти частицы в свою очередь влияют на своих соседок, и так далее.

с = λ · f - основное уравнение учения о волнах.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова.

Уравнение бегущей волны:

где А = const — амплитуда волны, w — циклическая частота

Длина волны — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой λ.

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны, то есть это пространственный аналог круговой частоты ω (рад·с−1). Единица измерения — рад·м−1.

Волновое число численно равно числу периодов волны, укладывающихся в отрезок 2π метров.

Обозначение — k, формула:

где λ — длина волны, ν («ню») — частота, vp = vф — Фазовая скорость волны, ω — угловая частота, E — энергия, ħ — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака), c — скорость света в вакууме.

Волновое уравнение - дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды волновое уравнение имеет вид:

где х, у, z — пространственные переменные, t — время, u = u (х, у, z) — искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а — скорость распространения возмущения. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то Волновое уравнение упрощается и называется двумерным (одномерным).

Фазовая скорость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение: .

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.

Предположим, что источник - плоская металлическая мембрана, колеблющаяся с определённой частотой. Колебаться мембрану заставляет вынуждающая сила, в данном случае - переменное (синусоидальное) магнитное поле. Мембрана, в свою очередь, заставляет колебаться частицы воздуха, и в пространстве за мембраной распространяется плоская продольная упругая волна.

Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия.

Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.