22. Числа Фибоначчи, их свойства и приложения.

Числа Фибоначчи — это элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числа Фибоначчи1 F(n) определяются следующим образом: F(0) = 1, F(l) = 1, F(n + 2) = F(n + 1) + F(n). Числа Фибоначчи обладают множеством интересных математических свойств.

Вот лишь некоторые из них:

• Соотношение Кассини:

• Правило "сложения":

• Из предыдущего равенства при   вытекает:

• Из предыдущего равенста по индукции можно получить, что

 всегда кратно  .

• Верно и обратное к предыдущему утверждение:

если   кратно  , то   кратно  .

• НОД-равенство:

23.. Числа Каталана. Числа Стирлинга (1-го и 2-го рода), гармонические числа.

Числа Каталана — числовая последовательность, встречающаяся в удивительном числе комбинаторных задач. Эта последовательность названа в честь бельгийского математика Каталана (Catalan), жившего в 19 веке, хотя на самом деле она была известна ещё Эйлеру (Euler), жившему за век до Каталана. Первые несколько чисел Каталана   (начиная с нулевого): 1,1,2,5,14. Числа Каталана встречаются в большом количестве задач комбинаторики. Имеется две формулы для чисел Каталана: рекуррентная и аналитическая. Рекуррентную формулу легко вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях. Самой левой открывающей скобке l соответствует определённая закрывающая скобка r, которая разбивает формулу две части, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностью. Поэтому, если мы обозначим  , то для любого фиксированного   будет ровно   способов. Суммируя это по всем допустимым  , мы и получаем рекуррентную зависимость на  . (здесь через   обозначен, как обычно, биномиальный коэффициент). Эту формулу проще всего вывести из задачи о монотонных путях.

Числа Стирлинга первого рода s(n, k) — это коэффициенты при последовательных степенях переменной x в многочлене [x]_k: [x]_n = ∑_k=0:n s(n, k)x^k.Для них определяются аналогичные рекуррентные соотношения, что и для чисел второго рода: s(n, n) = 1, для n ≥ 0,s(n, 0) = 0, для n > 0, s(n, k) = s(n−1, k−1) + (n−1)s(n−1, k), для 0 < k < n.Число Стирлинга второго рода S(n, k) — это число разбиений n-элементного множества на k блоков, т. е. S(n, k) = |Π_k(X)|,где множество X состоит из n элементов. Например, S(4, 2) = 7.Любопытны некоторые тождества, связанные с числами Стирлинга второго рода: S(n, n) = 1, для n ≥ 0, S(n, 0) = 0, для n > 0, S(n, k) = S(n−1, k−1) + kS(n−1, k), для 0 < k < n xⁿ = ∑_k=0:n S(n, k)[x]_k, для n ≥ 0, где [x]_k = x(x−1)…(x−k+1).В математике, n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда: . Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

24.. Суммы и рекуррентные соотношения. Преобразования сумм.