- •Понятие множества. Примеры множеств. Способы задания множеств.
- •Пустое множество. Равные множества. Подмножества. Примеры.
- •Универсальное множество. Дополнение множества до универсального множества.
- •Кортеж. Декартово умножение множеств.
- •Отношения эквивалентности и порядка.
- •Отображения. Функции. Равномощные множества. Композиция отображений.
- •12.Мощность множества. Счетные множества. Мощность континуума.
- •14.Понятие перестановки. Число перестановок n-элементного множества.
- •16. Понятия размещения. Числа всех размещений из n элементов по k элементов.
- •17. Треугольник паскаля и его свойства. Бином ньютона, его свойства и некоторые приложения.
- •18. Метод рекуррентных соотношений (определение и примеры).
- •Решение рекуррентных соотношений. Примеры.
- •21. Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами.
- •Числа Фибоначчи, их свойства и приложения.
- •23.. Числа Каталана. Числа Стирлинга (1-го и 2-го рода), гармонические числа.
- •25. Производящие функции.
- •Целочисленные функции округления.
- •27.Иерархия.Асимптотическая аппроксимация.
- •29.Графы, ориентированные графы, псевдографы, мультиграфы.
- •31.Маршруты, пути.
- •32.Матричное задание графов.
- •33.Операции над графами, подграфы.
- •35. Поиск маршрутов в графах.
- •36.Деревья, свойства деревьев. Лес.
- •38.Эйлеровы графы и циклы.
- •40.Планарные графы.
- •41.Правильная раскраска вершин графов.
- •43.Принцип Дирихле.
- •45.Приложение теоремы Рамсея. Теорема Ван дер Вардена.
- •46.Двудольные графы. Теорема Кенига
12.Мощность множества. Счетные множества. Мощность континуума.
Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом – оно называется мощностью множестаМножество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством. Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум. В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой cво фрактурном начертании: . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.
13.Комбинаторные правила, суммы, произведения, включений и исключений.
Правило суммы:Пусть множество A содержит m элементов, n(A)=m, множество B содержит k элементов, n(B)=k объединяются в новое множество. Возникает вопрос о числе элементов в объединении этих множеств, n(A∪B). Имеются две возможности:1. Данные множества не имеют общих элементов. Они не пересекаются, n(A∩B).=0. Поэтому n n(A∪B).= n(A) + n(B)= m + k. Формула справедлива для любого числа множеств.2. Данные два множества имеют d общих элементов, n(A∩B).=d . Они пересекаются, n(A∩B).=0. Поэтому n(A∪B).= n(A) + n(B) – n(A∩B)= m + k.- dЕсли учувствуют в объединении три множества: n(A)=m , n(B)=k, n(C)=s, n(A∩B).=d1, n(B∩C).=d2, n(A∩C).=d3, n(A∩B∩C)=g, то формула имеет вид:n(A∪B∪C).= n(A) + n(B)+ n(C)- n(A∩B)- n(A∩C)- n(A∩C)+n(A∩B∩C) илиn(A∪B∪C).= m + k +s – d1 - d2 – d3 +gПравила суммы и произведения можно иллюстрировать помощь кругов.Правило произведенияПусть множество A содержит m элементов, n(A)=m, множество B содержит k элементов, n(B)=k из элементов которых необходимо записать множество W, состоящее из пар, первый элемент которых принадлежит множеству A, второй – множеству B. При этом справедлива формула: n(W)=n(AxB)=n(A)·n(B)=m·k. Множества W yназывается декартовым произведение множеств A и B. Формула справедлива для любого числа множеств, в том числе при умножении множества само на себя.Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. Формула включений-исключений утверждает: При получаем формулу для двух множеств, приведенную выше
14.Понятие перестановки. Число перестановок n-элементного множества.
Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n-элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n. Перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества Aназывается n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множестваA это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу. Характерные особенности понятия «перестановка» (существенные признаки понятия):1. Задано некоторое множество из n элементов.2. Составляется последовательность из всех элементов этого множества.3. Эта последовательность содержит n элементов.Число всех перестановок n- элементного множества равно n!. Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n = n(n-1)...(n-n+1) = n!
15. Понятия сочетания. Числа всех сочетаний из n элементов по k элементов. Основные свойства сочетаний.Пусть дано n-элементное множество. Любое k-элементное подмножества множества A называется k-сочетанием n-элементного множества.Число k-сочетаний n-элементного множества обозначается .
1)
2) 3) ;
4) ;
5) ,