12.Мощность множества. Счетные множества. Мощность континуума.

 Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом – оно называется мощностью множестаМножество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством.  Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум. В теории множеств, конти́нуум (от лат. continuum — непрерывное) — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой cво фрактурном начертании:  . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным множеством.

13.Комбинаторные правила, суммы, произведения, включений и исключений.

Правило суммы:Пусть множество A содержит m элементов, n(A)=m, множество B содержит k элементов, n(B)=k объединяются в новое множество. Возникает вопрос о числе элементов в объединении этих множеств, n(A∪B). Имеются две возможности:1. Данные множества не имеют общих элементов. Они не пересекаются, n(A∩B).=0. Поэтому n n(A∪B).= n(A) + n(B)= m + k. Формула справедлива  для любого числа множеств.2. Данные два множества имеют d общих элементов, n(A∩B).=d . Они пересекаются, n(A∩B).=0. Поэтому  n(A∪B).= n(A) + n(B) – n(A∩B)= m + k.- dЕсли учувствуют в объединении три множества: n(A)=m , n(B)=k, n(C)=s, n(A∩B).=d₁, n(B∩C).=d₂, n(A∩C).=d₃,  n(A∩B∩C)=g, то формула имеет вид:n(A∪B∪C).= n(A) + n(B)+ n(C)- n(A∩B)- n(A∩C)- n(A∩C)+n(A∩B∩C) илиn(A∪B∪C).= m + k +s – d₁ -  d₂ – d₃ +gПравила суммы и произведения  можно иллюстрировать помощь кругов.Правило произведенияПусть множество A содержит m элементов, n(A)=m, множество B содержит k элементов, n(B)=k из элементов которых необходимо записать множество W, состоящее из  пар, первый элемент которых принадлежит множеству A, второй – множеству B. При этом справедлива формула: n(W)=n(AxB)=n(A)·n(B)=m·k. Множества W yназывается декартовым произведение множеств A и B. Формула справедлива  для любого числа множеств, в том числе при умножении множества само на себя.Формула включений-исключений (или принцип включений-исключений) — комбинаторная формула, позволяющая определить мощность объединения конечного числа конечных множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. Формула включений-исключений утверждает: При   получаем формулу для двух множеств, приведенную выше

14.Понятие перестановки. Число перестановок n-элементного множества.

Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n-элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n. Перестановкой множества A называется кортеж из r попарно различных элементов множества A. Иногда r- перестановки называют размещениями без повторения. Пусть A есть n- элементное множество. Перестановкой множества Aназывается n- перестановка множества A. Другими словами, перестановка множестваA это кортеж содержащий все элементы множества A по одному разу. Характерные особенности понятия «перестановка» (существенные признаки понятия):1. Задано некоторое множество из n элементов.2. Составляется последовательность из всех элементов этого множества.3. Эта последовательность содержит n элементов.Число всех перестановок n- элементного множества равно n!. Доказательство. Искомое число равно P(n, n) = n = n(n-1)...(n-n+1) = n!

15. Понятия сочетания. Числа всех сочетаний из n элементов по k элементов. Основные свойства сочетаний.Пусть дано n-элементное множество. Любое k-элементное подмножества множества A называется k-сочетанием n-элементного множества.Число k-сочетаний n-элементного множества обозначается  .

  1)      

2)       3)       ;

4)       ;

5)       ,