10. Отношения эквивалентности и порядка.

Отношение эквивалентности (отношение тождества отношение типа равенства) — двухместное отношение R между предметами х и у в предметной области D, удовлетворяющее следующим аксиомам (условиям):1. аксиоме рефлексивности (см. выше): xRx (предмет находится в отношении R к само­му себе);2. аксиоме симметрич­ности (см. выше): xRy yRx (если предмет х находится в отношении R к пред­мету у, то и у находится в отношении R к х);3. аксиоме транзитивности (см. выше): xRy&yRz xRz (если предмет х находится в отношении R к предмету у и у находится в отношении R к z, то х находится в отношении R к г).Таким образом, отношение типа равенства является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, обмениваемость товаров на рынке^{[источник не указан 668 дней]}, подобие, одновременность. Пример отношения, которое удовлетворяет аксиоме (3), но не удовлетворяет аксиомам (1) и (2): «больше».Отношения порядка — отношения, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности. В частности, отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует «нестрогий» порядок. Отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — «строгий» порядок.

10. Отображения. Функции. Равномощные множества. Композиция отображений.

Одним из важных понятий математики, есть понятие отображения, которое непосредственно связано с понятием соответствия, описывая его. Понятие отображения часто ассоциируется с понятием функции.

Для задания отображения f необходимо указать:

1. Область определения – множество, которое отображается. Область определения задается изначально. Обозначается D(f). Элементы области определения называют аргументами.

2. Область значений – множество, к которое или на которое отображается заданная область. Область значений. Обозначается E(f)

Правило (закон, соответствие) между D(f) и E(f).

Отображения можно записывать в т виде: f:A→B, , B=f(A), B=F(A), y=f(x) и др.

В данном курсе будут рассматриваться однозначные отображения, где каждому элементу из области определения (аргументу) поставлен в соответствие не более чем один элемент из области значений (один или ни одного). При отображении, в том числе и однозначном отображении, количество образов равно или меньше числа прообразов. Это следует из того, что несколько элементов из области определения могут отобразиться в один и тот же элемент множества значений. Задание отображений. Для  задания (записи) отображений используются следующие основные способы: Аналитический способ  – в виде формулы. Табличный способ. В первой строчке таблицы записываются элементы (числа) области определения, во второй – элементы множества значений. Графический способ – на координатной плоскости. С помощью графов -  двух кругов или иных геометрических фигур и стрелок.Словесный способ – в виде текста , описывающего закон соответствия.Виды отображений. Отображения делятся на два вида: отображения “в” и “на”. Пусть задано отображение B=f (A)1. Отображение “в” – инъекция Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества  B соответствует не более одного прообраза из A. При этом, мощность множества A меньше мощности множества B.2. Отображение “на” – сюръекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества  B соответствует хотя бы  один прообраз из A. При этом, мощность множества A больше или равна мощности множества B.Особое место занимают взаимнооднозначные отображения (соответствия). Взаимнооднозначное отображение (соответствие) – биекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B и  каждому элементу множества  B соответствует один прообраз из множества A. При этом мощность множества A равна мощности множества B. Функцией, заданной (или определенной) на некотором множестве X, называется соответствие, в силу которого любой элемент xмножества X определяет некоторый (соответствующий ему) объект f(x).  Множество X называется областью определения функции, а множество Y - объектов, соответствующих всем элементам множества X, -областью значений функции. Множества будут равномощными (равносильными, эквивалентными), если между ними  можно установить (задать) взаимнооднозначное соответствие. Для взаимнооднозначных отображений, обратное отображение также является взаимнооднозначным отображением. Пусть даны отображения вида: z=f(y), y=t(x). Последовательное выполнение таких отображений называется композицией (произведением, суперпозицией) отображений. Обозначается f и t или f ◦ t. Отображение часто называют функцией, при этом произведение функций называется сложной функцией или функцией от функции z=f(t(x)). Обозначим через Q и W соответственно области определения и значения отображения для функции  z=f(y). Через S и  L соответственно области определения и значения отображения для функции  y=t(x). В композиции двух функций участвуют  4 множества. Не обязательно множество значений функции z=f(t(x)).должно совпадать с множеством L, скорее всего ее множество значений будет являться подмножеством множества L, а именно  L₁ =t (W∩S), L₁ÌL