![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Вопрос 2. Геометрический и физический смысл производной
Пусть некоторая материальная точка (тело) движется неравномерно по некоторой прямой.
Рис. 1
Расстояние s
движущейся точки
,
отсчитываемое от некоторого начального
ее положения
будет зависеть от времени t,
т.е. s
функция времени t:
=
.
Это равенство называют законом движения
точки (рис.1).
Пусть в некоторый
момент времени t
точка
находилась на расстоянии s
от начального положения
,
а в некоторый следующий момент
(
– приращение времени) точка оказалась
в положении
на расстоянии
от начального положения. Таким образом,
за промежуток
величина s
получила приращение
,
.
Отношение
выражает среднюю скорость движения
точки за время t.
То есть,
.
Для того, чтобы точнее выразить истинную
скорость с помощью средней скорости,
надо взять меньший промежуток времени
.
Наиболее полно характеризует скорость
движения точки в момент t
тот предел к которому стремится средняя
скорость при
.
Этот предел называют скоростью
движения в данный момент времени
или
.
Скоростью движения
в данный момент называется предел
отношения приращения пути
к приращению времени
,
когда приращение времени стремится к
0. То есть, скорость прямолинейного
движения материальной точки в момент
времени t
есть производная от пути s
по времени
t:
В этом заключается механический смысл
производной.
В общем случае,
если функция
описывает какой-либо физический процесс,
то производная
есть скорость протекания этого процесса.
В этом состоит физический смысл
производной.
Теперь дадим геометрическое истолкование производной. Для этого потребуется определение касательной к кривой в данной точке.
Пусть имеем кривую
и на ней точки
и
.Проведем
прямую, проходящую через эти точки. Она
называется секущей. Пусть точка
неограниченно приближается по кривой
к точке
.
Тогда секущая, поворачиваясь около
точки
стремится к некоторому предельному
положению
.
Касательной к
данной кривой
в данной точке
называется предельное положение
секущей
,
проходящей через точку
,
когда вторая точка пересечения
неограниченно приближается по кривой
к точке
(рис. 2).
Рис. 2
Рассмотрим теперь
график непрерывной функции
,
имеющий в точке
невертикальную касательную.
Пусть при некоторых
значениях
функция имеет значение
.
Этому значению соответствует точка
.
Дадим аргументу
приращение
.
Новому значению аргумента
соответствует значение функции
.
Соответствующей точкой графика будет
точка
.
Проведем секущую
и обозначим через
угол, образованный секущей и положительным
направлением оси Оx
(рис.3).
Составим отношение
.
Из рисунка 3 видно,
что
.
Если
,
то точка
стремится к точке
.
Секущая
будет поворачиваться, угол
будет меняться. Если при
,
угол
стремится к некоторому пределу
,
то прямая, проходящая через точку
и составляющая с положительным
направлением оси Оx
угол
будет искомой касательной.
Найдем ее угловой коэффициент:
.
Рис. 3
Таким образом, мы
получили, что значение производной
при данном значении аргумента х
равняется тангенсу угла, образованного
с положительным направлением оси Оx
касательной к графику функции
в соответствующей точке
,
или, другими словами, производная равна
угловому коэффициенту. В этом состоит
геометрический смысл производной.